Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u=2 i+2 j-3 k e v=2 i-j+k.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um vetor que seja ortogonal simultaneamente a
u=2i+2j-3k e
v=2i-j+k.
O conteúdo que vamos usar é o produto vetorial em R^3, pois ele gera um vetor perpendicular a ambos os fatores.

Passo 2

Lembrando que, dados dois vetores a e b em R^3, o produto vetorial
atimesb
é um vetor ortogonal a a e a b ao mesmo tempo, cuja magnitude e direção obedecem à regra da mão direita. Aqui basta aplicar a definição por determinante.

Passo 3

Escrevemos o produto vetorial como determinante de uma matriz 3times3, escolhendo a base canônica i,j,k:
utimesv = i & j & k 2 & 2 & -3 2 & -1 & 1

Passo 4

Calculamos cada componente usando a expansão de Laplace na primeira linha:
Componente em i:
2cdot1 - (-3)cdot(-1) = 2 - 3 = -1
Componente em j (note o sinal negativo da co-fatora):
-(2cdot1 - (-3)cdot2) = -(2 - (-6)) = -(8) = -8
Componente em k:
2cdot(-1) - 2cdot2 = -2 -4 = -6
Portanto
utimesv = -1,i ;-;8,j;-;6,k,
ou seja o vetor l(-1,-8,-6r).

Resposta

Um vetor ortogonal a u e v é
(-1,,-8,,-6)
(ou qualquer múltiplo não nulo, por exemplo (1,8,6).)

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