determine se o sistema tem solução não trivial. Tente usar a menor quantidade possivel de operações elementares.
l -3 x1+4 x2-8 x3=0 -2 x1+5 x2+4 x3=0

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de duas equações em três incógnitas (x1,x2,x3). O conteúdo é álgebra linear, mais especificamente sistemas lineares homogêneos e espaço de soluções. Vamos usar eliminação de Gauss e argumento de grau de liberdade para decidir a existência de solução não trivial.

Passo 2

Eliminamos x1 pela combinação linear das equações. Multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3:
2(-3 x1+4 x2 -8 x3)=0, 3(-2 x1+5 x2 +4 x3)=0,
resultando em
-6 x1+8 x2 -16 x3=0, -6 x1+15 x2 +12 x3=0
Subtraindo a primeira da segunda obtemos
7 x2+28 x3=0

Passo 3

Da equação 7 x2+28 x3=0 isolamos x2:
x2=-4 x3

Passo 4

Substituímos x2=-4 x3 em qualquer equação original, por exemplo na primeira:
-3 x1+4(-4 x3)-8 x3=0implies -3 x1 -24 x3=0implies x1=-8 x3

Passo 5

Como x3 é livre, escrevemos a solução geral do sistema:
(x1,x2,x3)=x3(-8,-4,1)
Para x3neq0 temos uma solução não trivial.

Resposta

Sim. O sistema tem soluções não triviais e a solução geral é (x1,x2,x3)=t(-8,-4,1) com tneq0.

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