Verificar se os pontos A(1,3,2), B(-1,1,0), C(0,3,0) e D(-2,2,-1) estão no mesmo plano.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço A(1,3,2), B(-1,1,0), C(0,3,0) e D(-2,2,-1) e pede para verificar se eles são coplanares. Para isso vamos usar o produto misto (ou escalar triplo): quatro pontos são coplanares se, e somente se, o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB, AC e AD for zero.

Passo 2

Primeiro calculamos os vetores a partir de A:
AB = B - A = (-1-1,;1-3,;0-2) = (-2,-2,-2),
AC = C - A = (0-1,;3-3,;0-2) = (-1,0,-2),
AD = D - A = (-2-1,;2-3,;-1-2) = (-3,-1,-3)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial ACtimesAD usando determinantes:
ACtimesAD = i & j & k -1 & 0 & -2 -3 & -1 & -3 = (-2,,3,,1)

Passo 4

Em seguida, fazemos o produto escalar de AB com esse resultado:
ABcdotl(ACtimesADr) = (-2,-2,-2)cdot(-2,3,1) = 4 - 6 - 2 = -4

Passo 5

Como o produto misto não é zero ( -4neq0), o volume do paralelepípedo é diferente de zero e, portanto, os quatro pontos não são coplanares.

Resposta

Os pontos A, B, C e D não estão no mesmo plano.

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