Dados os vetores: \mathbf{u}=2 \mathbf{i}-\mathbf{j}+3 \mathbf{k}, \mathbf{v}=4 \mathbf{i}+5 \mathbf{j}+\mathbf{k} e \mathbf{w}=3 \mathbf{i} - \mathbf{j}+\mathrm{m} \mathbf{k}, calcular:
\mathbf{u} \times \mathbf{v}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} dos vetores
\mathbf{u}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k} e \mathbf{v}=4\mathbf{i}+5\mathbf{j}+\mathbf{k}.
O conteúdo é produto vetorial em \mathbb{R}^3 e vamos usar a definição via determinante.

Passo 2

Extraímos as componentes de cada vetor:
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)=(2,-1,3), \qquad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)=(4,5,1).

Passo 3

O produto vetorial é dado por
\mathbf{u}\times\mathbf{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} =\mathbf{i}(u_2v_3 - u_3v_2) -\mathbf{j}(u_1v_3 - u_3v_1) +\mathbf{k}(u_1v_2 - u_2v_1).

Passo 4

Substituindo u_1=2, u_2=-1, u_3=3, v_1=4, v_2=5, v_3=1:
\begin{aligned} \mathbf{i}\text{-componente} &= u_2v_3 - u_3v_2 = (-1)\cdot1 - 3\cdot5 = -1 - 15 = -16,\\\ \mathbf{j}\text{-componente} &= u_1v_3 - u_3v_1 = 2\cdot1 - 3\cdot4 = 2 - 12 = -10,\\\ \mathbf{k}\text{-componente} &= u_1v_2 - u_2v_1 = 2\cdot5 - (-1)\cdot4 = 10 + 4 = 14. \end{aligned}
Lembre que há um sinal negativo na componente em \mathbf{j} por causa da expansão.

Resposta

\mathbf{u}\times\mathbf{v} = -16\,\mathbf{i} + 10\,\mathbf{j} + 14\,\mathbf{k}.

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