Três vetores (\mathbf{A}, \mathbf{B}) e
, com 5 unidades cada um, estão respectivamente inclina
e
. Determine:
;
Passo 1
Dados do enunciado:
têm magnitudes iguais a
unidades cada uma.
As direções (ângulos medidos a partir do eixo , no sentido anti-horário) são:
em
,
em
e
em
.
O que se pede: calcular o produto escalar .
As direções (ângulos medidos a partir do eixo
O que se pede: calcular o produto escalar
Passo 2
Conceitos essenciais (aula rápida e prática):
- Definição pelo ângulo: o produto escalar entre dois vetores
e pode ser escrito como
onde
e
são as magnitudes (comprimentos) e
é o ângulo agudo entre eles (mais precisamente, o ângulo entre as direções dos vetores). Aqui,
é sempre o menor ângulo positivo entre as direções dos vetores.
- Definição por componentes em 2D: se
e , então
Podemos obter
e
a partir da magnitude e do ângulo: para um vetor de magnitude
e ângulo
,
Vou usar a primeira definição (por magnitude e ângulo) porque aqui temos magnitudes iguais e os ângulos das direções; é o caminho mais direto. Depois faço também pelo método das componentes para confirmar — é sempre bom verificar.
Passo 3
Calcular o ângulo entre
e
:
As direções são e
. A diferença é
As direções são
Portanto o ângulo entre eles é
.
Usando a fórmula por ângulo:
Substituindo
e
:
Lembrete trigonométrico:
.
Logo
Logo
Em decimal isso é
.
Passo 4
Verificação pelo método das componentes (confirmação didática):
Primeiro as componentes de (magnitude
, ângulo
):
Primeiro as componentes de
Agora as componentes de
(magnitude
, ângulo
). Usando
e
,
Produto escalar pelas componentes:
o mesmo resultado obtido antes. Confirmação completa.
Passo 5
Interpretação rápida e dica para prova:
- Produto escalar negativo indica que os vetores têm um ângulo maior que
entre si (aqui ), ou seja, têm componente ao longo um do outro com sinal oposto. - Para questões rápidas, calcule a diferença dos ângulos, use
. Se precisar de verificação, traduza para componentes usando .