Três vetores (\mathbf{A}, \mathbf{B}) e \mathbf{C}, com 5 unidades cada um, estão respectivamente inclina operatorname{dos}: 60^{\circ}, 180^{\circ} e 300^{\circ}. Determine:
\mathbf{B} \cdot \mathbf{C};

Passo 1

Dados do enunciado:
\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} têm magnitudes iguais a 5 unidades cada uma.
As direções (ângulos medidos a partir do eixo +x, no sentido anti-horário) são:
\mathbf{A} em 60^\circ, \mathbf{B} em 180^\circ e \mathbf{C} em 300^\circ.
O que se pede: calcular o produto escalar \mathbf{B}\cdot\mathbf{C}.

Passo 2

Conceitos essenciais (aula rápida e prática):
  1. Definição pelo ângulo: o produto escalar entre dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} pode ser escrito como
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos(\theta),
onde |\mathbf{u}| e |\mathbf{v}| são as magnitudes (comprimentos) e \theta é o ângulo agudo entre eles (mais precisamente, o ângulo entre as direções dos vetores). Aqui, \theta é sempre o menor ângulo positivo entre as direções dos vetores.
  1. Definição por componentes em 2D: se \mathbf{u}=(u_x,u_y) e \mathbf{v}=(v_x,v_y), então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x + u_y v_y.
Podemos obter u_x e u_y a partir da magnitude e do ângulo: para um vetor de magnitude r e ângulo \alpha,
(r\cos\alpha,\; r\sin\alpha).
Vou usar a primeira definição (por magnitude e ângulo) porque aqui temos magnitudes iguais e os ângulos das direções; é o caminho mais direto. Depois faço também pelo método das componentes para confirmar — é sempre bom verificar.

Passo 3

Calcular o ângulo entre \mathbf{B} e \mathbf{C}:
As direções são 180^\circ e 300^\circ. A diferença é
|180^\circ-300^\circ|=120^\circ.
Portanto o ângulo entre eles é \theta=120^\circ.
Usando a fórmula por ângulo:
\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=|\mathbf{B}|\,|\mathbf{C}|\cos(120^\circ).
Substituindo |\mathbf{B}|=5 e |\mathbf{C}|=5:
\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=5\cdot 5\cdot \cos(120^\circ)=25\cos(120^\circ).
Lembrete trigonométrico: \cos(120^\circ)=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos(60^\circ)=-\tfrac{1}{2}.
Logo
\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=25\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{25}{2}.
Em decimal isso é -12{,}5.

Passo 4

Verificação pelo método das componentes (confirmação didática):
Primeiro as componentes de \mathbf{B} (magnitude 5, ângulo 180^\circ):
\mathbf{B}=5(\cos 180^\circ,\;\sin 180^\circ)=5(-1,\;0)=(-5,\;0).
Agora as componentes de \mathbf{C} (magnitude 5, ângulo 300^\circ). Usando \cos 300^\circ=\cos(360^\circ-60^\circ)=\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin 300^\circ=-\sin 60^\circ=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},
\mathbf{C}=5\!\left(\tfrac{1}{2},\; -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(\tfrac{5}{2},\; -\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\right).
Produto escalar pelas componentes:
\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=(-5)\cdot\left(\tfrac{5}{2}\right) + 0\cdot\left(-\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{25}{2},
o mesmo resultado obtido antes. Confirmação completa.

Passo 5

Interpretação rápida e dica para prova:
  • Produto escalar negativo indica que os vetores têm um ângulo maior que 90^\circ entre si (aqui 120^\circ), ou seja, têm componente ao longo um do outro com sinal oposto.
  • Para questões rápidas, calcule a diferença dos ângulos, use |\mathbf{B}||\mathbf{C}|\cos(\text{diferença})ç. Se precisar de verificação, traduza para componentes usando (r\cos\alpha,r\sin\alpha).

Resposta

-\dfrac{25}{2}

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