Dados os vetores
\mathbf{a}=3 \mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}
b=2 i+3 j+4 k
c=2 j+2 k
Calcule, (b \times c).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3: \mathbf{b}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}+4\mathbf{k} e \mathbf{c}=2\mathbf{j}+2\mathbf{k}.
Pede-se o produto vetorial \mathbf{b}\times\mathbf{c}.
Para isso vamos usar a definição via determinante de matriz 3\times3.

Passo 2

Escrevemos o produto vetorial como determinante:
\mathbf{b}\times\mathbf{c} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix}.
Aqui a segunda linha são as componentes de \mathbf{b} e a terceira linha as de \mathbf{c} (note que \mathbf{c} tem componente x=0).

Passo 3

Expandindo o determinante por co-fatores:
componente em \mathbf{i}:
(3\cdot2 - 4\cdot2) = 6 - 8 = -2,
com componente em \mathbf{j}:
(2\cdot2 - 4\cdot0) = 4 - 0 = 4,
com componente em \mathbf{k}:
(2\cdot2 - 3\cdot0) = 4 - 0 = 4.
Lembrando do sinal alternado para o segundo co-fator, o termo em \mathbf{j} vem com sinal negativo.

Passo 4

Juntando os resultados:
\mathbf{b}\times\mathbf{c} =-2\,\mathbf{i} - 4\,\mathbf{j} + 4\,\mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{b}\times\mathbf{c}=-2\mathbf{i}-4\mathbf{j}+4\mathbf{k}.

Exercícios relacionados