Resolva as inequações
(x-3)(x+1)>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação (x-3)(x+1)>0. Esse tipo de problema é uma inequação do primeiro grau em forma de produto de dois fatores. Para resolvê-la, vamos encontrar as raízes de cada fator e depois estudar o sinal do produto em cada intervalo determinado por essas raízes.

Passo 2

Determinamos onde cada fator zera-se:
(x-3)=0\implies x=3,
(x+1)=0\implies x=-1.
Esses valores particionam a reta real em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,3) e (3,\infty).

Passo 3

Em cada intervalo, escolhemos um ponto de teste para verificar o sinal de cada fator:
No intervalo (-\infty,-1) tomamos x=-2. Então
(x-3)=-5<0,\quad (x+1)=-1<0,
logo o produto é positivo.
No intervalo (-1,3) tomamos x=0. Então
(x-3)=-3<0,\quad (x+1)=1>0,
logo o produto é negativo.
No intervalo (3,\infty) tomamos x=4. Então
(x-3)=1>0,\quad (x+1)=5>0,
logo o produto é positivo.

Passo 4

A inequação exige que o produto seja positivo, isto é, escolhemos os intervalos em que ambos os fatores têm o mesmo sinal. Concluímos que a solução é x<-1 ou x>3. Como a desigualdade é estrita, os pontos x=-1 e x=3 não fazem parte da solução.

Resposta

(-\infty,-1)\cup(3,\infty)

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