Questão 2

No contexto da Engenharia de Telecomunicaçoes, o volume abaixo da superfície pode representar o acumulo de intensidade de sinal em uma regian de interesse, Em Engenharia Aeronáutica, pode corresponder ao volume de material ou pressâo sob uma superficie aerodinâmica aproximada.
Enunciado: Calcule o volume abaixo da superficie
z=2 x+y^{2}
e acima da regián limitada pelas curvas
y=x^{2} \text { e } y=x^{3} \text {. }
É necessário fazer um esboço da regiâo de integraçio e ecolla entre o Tipo I ou Tipo II para resolver,

Passo 1

O enunciado pede o volume sob a superfície
z = 2x + y^2
e acima da região do plano xy limitada pelas curvas
y = x^2 \quad\text{e}\quad y = x^3.
O método é usar uma integral dupla do tipo I, ou seja, integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção das curvas resolvendo
x^2 = x^3 \;\Longrightarrow\; x^2\,(x-1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=1.
Para 0\le x\le1 vale x^3\le x^2. Logo a região R é
R = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x^3 \le y \le x^2\}.

Passo 3

O volume é dado por
\iint_{R}(2x+y^2)\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x^3}^{x^2}(2x+y^2)\,dy\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral interna em y:
\int_{x^3}^{x^2}(2x+y^2)\,dy =2x\bigl[y\bigr]_{y=x^3}^{y=x^2} +\bigl[\tfrac{1}{3}y^3\bigr]_{y=x^3}^{y=x^2} =2x\,(x^2 - x^3) +\tfrac{1}{3}\,(x^6 - x^9).
Isto é
2x^3 - 2x^4 + \tfrac{1}{3}x^6 - \tfrac{1}{3}x^9.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}\Bigl(2x^3 - 2x^4 + \tfrac{1}{3}x^6 - \tfrac{1}{3}x^9\Bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{2}{4}x^4 - \tfrac{2}{5}x^5 + \tfrac{1}{21}x^7 - \tfrac{1}{30}x^{10}\Bigr]_{0}^{1}.

Passo 6

Avaliar em 1 e em 0
\tfrac{2}{4}-\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{21}-\tfrac{1}{30} = \tfrac12 - \tfrac25 + \tfrac1{21} - \tfrac1{30} = \tfrac{24}{210} = \tfrac{4}{35}.

Resposta

O volume vale \displaystyle \tfrac{4}{35}.

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