Dados vetores mathbfu, v, w, x in R^3 e constantes a, b in R, mostre que:
(u times v) cdot(u times v)=(u v)^2-(u cdot v)^2, onde u=|u| e v=|v|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade de produtos vetoriais em R^3:
(utimesv)cdot(utimesv) =(u,v)^2-(ucdotv)^2,
onde u=|u| e v=|v|.
O conteúdo envolve as fórmulas geométricas do módulo do produto vetorial e do produto escalar.

Passo 2

Lembrando que
(utimesv)cdot(utimesv) =l|utimesvr|^2,
vamos usar a expressão geométrica para l|utimesvr| e para ucdotv.

Passo 3

Pela definição geométrica, se theta é o ângulo entre u e v, então
l|utimesvr| = |u|,|v|sintheta = u,v,sintheta
e
ucdotv = |u|,|v|costheta = u,v,costheta

Passo 4

Substituindo em l|utimesvr|^2 temos
(utimesv)cdot(utimesv) = (u,v,sintheta)^2 = u^2v^2sin^2theta
Mas sin^2theta = 1-cos^2theta, então
u^2v^2sin^2theta = u^2v^2l(1-cos^2thetar) = u^2v^2 - (u,v,costheta)^2
E como u,v,costheta = ucdotv, concluímos
(utimesv)cdot(utimesv) = u^2v^2 - (ucdotv)^2

Resposta

(utimesv)cdot(utimesv) =(u,v)^2 - (ucdotv)^2

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