Quando A e B são números reais, é comum o uso do seguinte raciocinio:
Se A^2=B^2, ent 30 A=B ou A=-B.
Verifique que este raciocinio nāo é vâlido caso A e B sejam matrizes, fornecendo um contraexemplo que utilize duas das matrizes a seguir (se possivel):
P=[cc-8 & 0 -14 & 6], Q=[ll8 & 0 2 & 6], R=[cc8 & 0 14 & -6] e S=[cc8 & 0 2 & -6].
Com base em sua análise, A e B devem ser substituídos por quais matrizes para que ocorra A^2=B^2 e, mesmo assim, tenha-se A neq B e A neq-B ?
a. A=P e B=S
b. A=Q e B=R
c. A=P e B=R
d. As 4 matrizes fornecidas nåo sło suficientes para obter um contraexemplo

Passo 1

O enunciado pede um contraexemplo para mostrar que, em geral, se A^2=B^2 com A e B matrizes, não vem necessariamente A=B nem A=-B. Vamos testar entre as matrizes P,Q,R,S dadas qual par satisfaz A^2=B^2 mas não A=pm B.

Passo 2

Calculemos
Q = 8 & 0 2 & 6,
então
Q^2 = 8 & 0 2 & 6 8 & 0 2 & 6 = 8cdot 8 + 0cdot 2 & 8cdot 0 + 0cdot 6 2cdot 8 + 6cdot 2 & 2cdot 0 + 6cdot 6 = 64 & 0 28 & 36

Passo 3

Calculemos
R = 8 & 0 14 & -6,
então
R^2 = 8 & 0 14 & -6 8 & 0 14 & -6 = 8cdot 8 + 0cdot 14 & 8cdot 0 + 0cdot (-6) 14cdot 8 + (-6)cdot 14 & 14cdot 0 + (-6)cdot(-6) = 64 & 0 28 & 36

Passo 4

Observamos que
Q^2 = 64 & 0 28 & 36 = R^2,
porém claramente
Q = 8 & 0 2 & 6 neq 8 & 0 14 & -6 = R e Q neq -R,
logo Q^2=R^2 mas não vale Q=pm R.

Resposta

(b)

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