integral0^2 integral0^3 e^x-y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado é:
integral0^2 integral0^3 e^x-y , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x . Precisaremos usar o conceito de integrais iteradas e entender como integrar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função e^x - y em relação a y , mantendo x como uma constante. A integral fica assim:
integral0^3 e^x - y , dy
Podemos reescrever e^x - y como e^x cdot e^-y . Como e^x é constante em relação a y , podemos fatorá-lo para fora da integral:
e^x integral0^3 e^-y , dy
Agora, vamos integrar e^-y em relação a y . A antiderivada de e^-y é -e^-y , então:
e^x [ -e^-y ]0^3
Substituindo os limites de integração:
e^x ( -e^-3 - (-e^0) ) = e^x ( -e^-3 + 1 ) = e^x (1 - e^-3)

Passo 3

Agora, precisamos integrar o resultado obtido em relação a x , no intervalo de 0 a 2:
integral0^2 e^x (1 - e^-3) , dx
Como (1 - e^-3) é uma constante em relação a x , podemos fatorá-la para fora da integral:
(1 - e^-3) integral0^2 e^x , dx
A antiderivada de e^x é e^x , então:
(1 - e^-3) [ e^x ]0^2 = (1 - e^-3) (e^2 - e^0) = (1 - e^-3) (e^2 - 1)

Resposta

A integral dupla calcula o valor (1 - e^-3) (e^2 - 1) . Simplificando numericamente:
(1 - e^-3) (e^2 - 1) approx (1 - 0.0498)(7.3891 - 1) approx 0.9502 times 6.3891 approx 6.081
Então, o resultado final da integral é aproximadamente 6.081.

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