Dados vetores mathbfu, v, w, x in R^3 e constantes a, b in R, mostre que:
(u times v) cdot(w times x)=(u cdot w)(v cdot x)-(u cdot x)(v cdot w)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade vetorial de Lagrange para vetores u,v,w,xinR^3:
(utimesv)cdot(wtimesx) =(ucdotw)(vcdotx) -(ucdotx)(vcdotw)
Vamos usar a notação de índices e o símbolo de Levi–Civita varepsilonijk, pois ela reduz o problema a manipulações algébricas de componentes.

Passo 2

Escrevemos cada componente dos vetores:
(utimes v)i = varepsilonijk,uj,vk, (wtimes x)i = varepsilonilm,wl,xm
Então o produto escalar fica
(utimesv)cdot(wtimesx) =sumi=1^3 (utimes v)i,(wtimes x)i =varepsilonijk,varepsilonilm,uj,vk,wl,xm

Passo 3

Aplicamos a identidade de contração do Levi–Civita com ele mesmo:
varepsilonijk,varepsilonilm =de<ajl,de<akm-de<ajm,de<akl,
onde de<aab é o delta de Kronecker.

Passo 4

Substituindo na expressão,
(utimesv)cdot(wtimesx) =(de<ajl,de<akm-de<ajm,de<akl),uj,vk,wl,xm
Agora contraímos índices:
  1. de<ajl,de<akm,uj,vk,wl,xm =ul,vm,wl,xm =(ucdotw)(vcdotx).
  2. de<ajm,de<akl,uj,vk,wl,xm =um,vl,wl,xm =(ucdotx)(vcdotw).
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(utimesv)cdot(wtimesx) =(ucdotw)(vcdotx) -(ucdotx)(vcdotw)

Resposta

A identidade está demonstrada conforme acima.

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