Supondo que a função diferenciável z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação dada. Determinar d zd x e d zd y :
x^2+y^2+z^2=3 x y z

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável z=f(x,y) definida implicitamente pela equação
x^2 + y^2 + z^2 = 3,x,y,z
O objetivo é encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y usando diferenciação implícita.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como constante, temos:
ddxl(x^2r) + ddxl(y^2r) + ddxl(z^2r) = ddxl(3xyzr)
Isso vira
2x + 0 + 2z,partial zpartial x = 3l(y,z + x,y,partial zpartial xr)
Reorganizando os termos com partial zpartial x:
2z,partial zpartial x - 3xy,partial zpartial x = 3yz - 2x,
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partial zpartial x = 3yz - 2x2z - 3xy

Passo 3

Agora diferenciamos em relação a y, tratando x como constante:
ddyl(x^2r) + ddyl(y^2r) + ddyl(z^2r) = ddyl(3xyzr)
Fica
0 + 2y + 2z,partial zpartial y = 3l(x,z + x,y,partial zpartial yr)
Agrupando os termos com partial zpartial y:
2z,partial zpartial y - 3xy,partial zpartial y = 3xz - 2y,
portanto
partial zpartial y = 3xz - 2y2z - 3xy

Resposta

partial zpartial x = 3,y,z - 2,x2,z - 3,x,y, partial zpartial y = 3,x,z - 2,y2,z - 3,x,y

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