Determine d fd x(x)=f^prime(x), se:
f(x)=arctg(x)arccotg(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=arctg(x)arccotg(x)
O conteúdo necessário inclui a regra do quociente e as derivadas
ddxl[arctg(x)r]=11+x^2
e
ddxl[arccotg(x)r]=-11+x^2.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente: se u(x)=arctg(x) e v(x)=arccotg(x), então
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l[v(x)r]^2 =11+x^2,arccotg(x) -arctg(x),l(-11+x^2r) l[arccotg(x)r]^2

Passo 3

No numerador podemos juntar termos sobre o mesmo denominador:
11+x^2,arccotg(x) +11+x^2,arctg(x) =arccotg(x)+arctg(x)1+x^2
Logo
f'(x) =arccotg(x)+arctg(x) (1+x^2),l[arccotg(x)r]^2

Passo 4

Usamos a identidade bem-conhecida
arctg(x)+arccotg(x)=pi2 para todo xinR
Substituindo,
f'(x) =pi2(1+x^2),l[arccotg(x)r]^2

Passo 5

Reescrevendo de forma mais direta,
f'(x) =pi2,(1+x^2),l[arccotg(x)r]^2

Resposta

f'(x) =pi2,(1+x^2),l[arccotg(x)r]^2

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