Determine d fd x(x)=f^prime(x), se:
f(x)=arcsen(x) cdot arccos (x)

Passo 1

O enunciado define f(x)=arcsin(x),cdot,arccos(x) e pede f'(x). Para isso, vamos usar a regra do produto e as derivadas conhecidas:
ddxarcsin(x)=1raiz1-x^2, ddxarccos(x)=-1raiz1-x^2

Passo 2

Aplicando a regra do produto, temos
f'(x) =arcsin(x),ddx[arccos(x)] +arccos(x),ddx[arcsin(x)]
Substituindo as derivadas acima:
f'(x) =arcsin(x)l(-1raiz1-x^2r) +arccos(x)l(1raiz1-x^2r)

Passo 3

Fatorando 1/raiz1-x^2 em evidência, obtém-se
f'(x) =arccos(x)-arcsin(x)raiz1-x^2

Passo 4

Como curiosidade, usando arccos(x)=pi2-arcsin(x) podemos reescrever
f'(x) =tfracpi2-2,arcsin(x)raiz1-x^2

Resposta

f'(x)=arccos(x)-arcsin(x)raiz1-x^2

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