Dados os vetores u=(x1, y1) e v=(x2, y2), mostre que:
u times v=-v times u

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto vetorial é anticomutativo, isto é,
vec utimesvec v = -,l(vec vtimesvec ur)
Para vetores em R^2, vec u=(x1,y1) e vec v=(x2,y2), definimos o “produto vetorial” como o pseudovetor em R^3 com componente só em z, cujo valor escalar é dado pelo determinante da matriz formada pelas componentes de vec u e vec v.

Passo 2

Calculamos primeiro vec utimesvec v pela fórmula do determinante:
vec utimesvec v =(0,0,;x1y2-y1x2)
Deste modo, o componente “ z ” vale
x1y2-y1x2

Passo 3

Agora calculamos vec vtimesvec u da mesma forma:
vec vtimesvec u =(0,0,;x2y1-y2x1),
cujo componente “ z ” é
x2y1-y2x1

Passo 4

Note que
x2y1-y2x1 =-(x1y2-y1x2)
Logo, comparando as componentes em z,
vec vtimesvec u = (0,0,;-(x1y2-y1x2)) =-,(0,0,;x1y2-y1x2) =-,l(vec utimesvec vr)
Isto mostra a anticomutatividade do produto vetorial.

Resposta

u times v = -,v times u

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