Seja
um espaço vetorial qualquer e
um conjunto de vetores em
. Escreva, com suas palavras, o que significa afirmar que os vetores
são linearmente dependentes (L.D.). O que é necessário para que
seja uma base de
?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) explicar, em linguagem informal, o que quer dizer que os vetores
são linearmente dependentes; (ii) dizer o que é preciso para que o conjunto
seja uma base de
. O conteúdo envolve o conceito de combinação linear, dependência/independência e geração (span) de um espaço vetorial.
Passo 2
Dizer que
são linearmente dependentes significa, em palavras, que um desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em outras palavras, há redundância no conjunto: não precisamos de todos para gerar o mesmo subespaço.
Passo 3
Formalizando, existe uma coleção de escalares
, nem todos nulos, tal que
A exigência “nem todos nulos” garante que seja uma combinação não-trivial que produz o vetor zero.
Passo 4
Para que
seja uma base de
, o conjunto deve satisfazer duas propriedades simultaneamente:
- Geração: todo vetor de
pode ser expresso como combinação linear de , ou seja,
- Independência: não há combinação linear não-trivial dos
que resulte em zero, lubrificando assim que nenhum deles seja redundante.
Resposta
Os vetores
são linearmente dependentes exatamente quando existe uma combinação linear não-trivial (isto é, com coeficientes não todos zero) que gera o vetor zero. Para que
seja uma base de
, é necessário que:
(a) (eles geram todo o espaço);
(b) sejam linearmente independentes (só a combinação trivial dá zero).
(a)
(b)