Seja V um espaço vetorial qualquer e v1, ldots, vn um conjunto de vetores em V. Escreva, com suas palavras, o que significa afirmar que os vetores v1, ldots, vn são linearmente dependentes (L.D.). O que é necessário para que v1, ldots, vn seja uma base de V?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) explicar, em linguagem informal, o que quer dizer que os vetores v1,dots,vn são linearmente dependentes; (ii) dizer o que é preciso para que o conjunto v1,dots,vn seja uma base de V. O conteúdo envolve o conceito de combinação linear, dependência/independência e geração (span) de um espaço vetorial.

Passo 2

Dizer que v1,dots,vn são linearmente dependentes significa, em palavras, que um desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em outras palavras, há redundância no conjunto: não precisamos de todos para gerar o mesmo subespaço.

Passo 3

Formalizando, existe uma coleção de escalares alpha1,dots,alphan, nem todos nulos, tal que
alpha1v1+alpha2v2+cdots+alphanvn=0
A exigência “nem todos nulos” garante que seja uma combinação não-trivial que produz o vetor zero.

Passo 4

Para que v1,dots,vn seja uma base de V, o conjunto deve satisfazer duas propriedades simultaneamente:
  1. Geração: todo vetor de V pode ser expresso como combinação linear de v1,dots,vn, ou seja,
spanv1,dots,vn=V
  1. Independência: não há combinação linear não-trivial dos vi que resulte em zero, lubrificando assim que nenhum deles seja redundante.

Resposta

Os vetores v1,dots,vn são linearmente dependentes exatamente quando existe uma combinação linear não-trivial (isto é, com coeficientes não todos zero) que gera o vetor zero. Para que v1,dots,vn seja uma base de V, é necessário que:
(a) spanv1,dots,vn=V (eles geram todo o espaço);
(b) v1,dots,vn sejam linearmente independentes (só a combinação trivial dá zero).

Exercícios relacionados