Determinar M in M3(R), inversível, tal que M^-1 A M seja diagonal onde
A=[ccc 2 & 0 & 4 3 & -4 & 12 1 & -2 & 5 ]

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma matriz invertível MinM3(R) tal que
M^-1 A M
seja diagonal. Isso corresponde a diagonalizar A: precisamos calcular os autovalores de A e, para cada autovalor, encontrar um autovetor não nulo. Os autovetores formam as colunas de M.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Seja lambda o parâmetro, então
det(A - lambda I) =det 2-lambda & 0 & 4 3 & -4-lambda & 12 1 & -2 & 5-lambda
Expandindo pela primeira linha, obtemos
det(A - lambda I) =(2-lambda)l[(-4-lambda)(5-lambda)-12cdot(-2)r] +4l[3cdot(-2)-(-4-lambda)cdot1r]
Fazendo as contas,
(-4-lambda)(5-lambda)+24 =lambda^2-lambda+4, 3(-2)-(-4-lambda)=lambda-2,
logo
det(A - lambda I) =(2-lambda)(lambda^2-lambda+4)+4(lambda-2) =-lambda(lambda-1)(lambda-2)
Assim os autovalores são
lambda1=0, lambda2=1, lambda3=2,
todos distintos, garantindo que A é diagonalizável.

Passo 3

Autovetor para
Escrevendo , o sistema é
Da primeira equação . A terceira já fica verificada. Escolhendo , obtemos um autovetor

Passo 4

Autovetor para . Resolvemos
ou seja
Da primeira equação . Da segunda: . A terceira é redundante. Tomando , temos

Passo 5

Autovetor para . Resolvemos
ou seja
Da primeira equação . Da segunda . A terceira é redundante. Escolhendo , obtemos

Passo 6

Como os três autovalores são distintos, os autovetores v1,v2,v3 são linearmente independentes. Tomamos
M=l[v1;v2;v3r] = -4 & -4 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 0
Então M é invertível e, pela construção,
M^-1AM = 0&0&0 0&1&0 0&0&2 ,
ou seja uma matriz diagonal com os autovalores de A.

Resposta

Uma escolha válida é
M= -4 & -4 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 0 ,
pois aí
M^-1AM=diag(0,1,2)

Exercícios relacionados