Dados vetores u e v, mostre as seguintes igualdades e desigauldades:
(a) |u+v|^2=|u|^2+2 u cdot v+|v|^2

Passo 1

O enunciado nos pede para provar a fórmula de expansão do quadrado da norma da soma de dois vetores u e v. Para isso, vamos usar a definição de norma em termos do produto escalar e as propriedades bilineares e comutativas desse produto.

Passo 2

Pela definição de norma,
|u+v|^2 = (u+v)cdot(u+v)
Usando a bilinearidade do produto escalar, temos
(u+v)cdot(u+v) = ucdotu + ucdotv + vcdotu + vcdotv
Como o produto escalar é comutativo, ucdotv = vcdotu, logo
ucdotv + vcdotu = 2,ucdotv
Além disso, ucdotu = |u|^2 e vcdotv = |v|^2. Substituindo esses resultados, concluímos
|u+v|^2 = |u|^2 + 2,ucdotv + |v|^2

Resposta

|u+v|^2=|u|^2+2,ucdotv+|v|^2

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