Retângulo A B C D, \overrightarrow{A B}=\vec{u}, \overrightarrow{A D}=\vec{v}.
a) Expresse ambas as diagonais.
b) Mostre que \overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v} e \overrightarrow{B D}=\vec{u}-\vec{v} (diferença).
c) Represente \sqrt{2} \vec{u} em relação à diagonal (caso quadrado).
d) Calcule \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado diz: temos um retângulo A B C D e foram dadas as duas arestas que saem de A:
  • \overrightarrow{A B}=\vec{u}.
  • \overrightarrow{A D}=\vec{v}.
As perguntas são:
a) Expresse ambas as diagonais (isto é, escreva as vetoriais de A a C e de B a D em função de \vec{u} e \vec{v}).
b) Mostre que \overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v} e que a diferença pedida está relacionada às arestas (vamo tratar a orientação com cuidado).
c) No caso especial em que o retângulo é um quadrado, represente \sqrt{2}\,\vec{u} em termos das diagonais.
d) Calcule \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} e dê uma interpretação geométrica do resultado.
Informações relevantes que podemos usar (todas vindas do enunciado ou da definição de retângulo):
  • Em um retângulo, os lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento: \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}=\vec{v} e \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A B}=\vec{u} (atenção à direção).
  • Os lados adjacentes são ortogonais: \vec{u}\cdot\vec{v}=0 quando for útil (no caso do quadrado também vale e ainda |\vec{u}|=|\vec{v}|).
  • Vetor diagonal pode ser obtido por soma de dois lados adjacentes (em termos vetoriais: deslocamentos concatenam-se por soma).

Passo 2

Vamos encontrar \overrightarrow{A C} de maneira direta e didática (passo a passo).
Regra básica de vetores (explicação curta): se eu vou de um ponto X a Y com vetor \overrightarrow{X Y} e de Y a Z com vetor \overrightarrow{Y Z}, então o deslocamento total de X a Z é a soma:
\overrightarrow{X Z}=\overrightarrow{X Y}+\overrightarrow{Y Z}.
Aqui queremos \overrightarrow{A C}. Podemos decompor o caminho A\to C como A\to B seguido de B\to C. Logo
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}.
Pelo enunciado \overrightarrow{A B}=\vec{u}. Em um retângulo, o lado B C é paralelo e igual em comprimento ao lado A D; como vetores isso significa
\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}=\vec{v}.
Portanto, substituindo,
\overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v}.
(Explicação intuitiva: a diagonal vai “uma vez na direção de \vec{u}” e “uma vez na direção de \vec{v}”.)

Passo 3

Agora vamos tratar a diagonal que liga B a D. Use a mesma ideia de concatenar deslocamentos. Um caminho útil é B\to A seguido de A\to D. Assim
\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D}.
Sabemos que \overrightarrow{B A}=-\overrightarrow{A B}=-\vec{u} (inverter a direção do vetor muda o sinal) e \overrightarrow{A D}=\vec{v}. Então
\overrightarrow{B D}=-\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}-\vec{u}.
Observação importante sobre orientação (isto é, sinal): se alguém escreve \vec{u}-\vec{v} isso corresponde ao vetor \overrightarrow{D B} (do ponto D para B), porque
\overrightarrow{D B}=-\overrightarrow{B D}=-(\vec{v}-\vec{u})=\vec{u}-\vec{v}.
Portanto:
  • \overrightarrow{B D}=\vec{v}-\vec{u}.
  • \overrightarrow{D B}=\vec{u}-\vec{v}.
Moral: é essencial ficar atento à ordem dos pontos ao escrever vetores—trocar a ordem inverte o sinal.

Passo 4

Vou reforçar com um exemplo em coordenadas (para você visualizar): coloque A na origem, tome \vec{u}=(a,0) e \vec{v}=(0,b) (isso modela um retângulo com \vec{u} horizontal e \vec{v} vertical). Então
\overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v}=(a,b), \qquad \overrightarrow{B D}=\vec{v}-\vec{u}=(-a,b).
Fica fácil ver geometricamente que A\to C soma os dois deslocamentos e B\to D sobe e volta à esquerda — daí o sinal negativo em a.

Passo 5

Parte (c): caso quadrado — representação de \sqrt{2}\,\vec{u} em termos das diagonais.
No quadrado temos duas propriedades úteis:
  1. |\vec{u}|=|\vec{v}| (lados iguais).
  2. \vec{u}\cdot\vec{v}=0 (lados perpendiculares).
Já vimos que as duas diagonais são (usando a orientação conveniente para escrever em termos de \vec{u} e \vec{v})
\overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v}, \qquad \overrightarrow{D B}=\vec{u}-\vec{v}.
Essas duas expressões formam um sistema fácil de resolver para \vec{u}. Somando as duas:
\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B}=(\vec{u}+\vec{v})+(\vec{u}-\vec{v})=2\vec{u}.
Logo
\vec{u}=\frac{1}{2}\big(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B}\big).
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{2},
\sqrt{2}\,\vec{u}=\frac{\sqrt{2}}{2}\big(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B}\big).
Essa é uma representação de \sqrt{2}\,\vec{u} em termos das diagonais do quadrado. Interpretação rápida: a soma das duas diagonais (com as orientações que escolhemos) dá 2\vec{u}; então \sqrt{2}\vec{u} é apenas um fator escalar dessa soma.
Nota adicional (magnitude): no quadrado |\overrightarrow{A C}|=\sqrt{2}\,|\vec{u}|. Assim |\overrightarrow{A C}| tem a mesma norma que \sqrt{2}\,|\vec{u}|, mas \overrightarrow{A C} não aponta na mesma direção que \vec{u} (aponta numa diagonal); por isso não é correto dizer que \sqrt{2}\,\vec{u}=\overrightarrow{A C} — são vetores de mesma norma em geral com direções diferentes.

Passo 6

Parte (d): calcular \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} e interpretar.
Usando as expressões que já obtivemos:
\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=(\vec{u}+\vec{v})+(\vec{v}-\vec{u}).
Ao somar, os termos \vec{u} e -\vec{u} se cancelam, sobrando
\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=2\vec{v}.
Interpretação geométrica: o resultado é duas vezes o vetor \vec{v}, que é precisamente 2\overrightarrow{A D}. Em palavras: somar a diagonal A C com a diagonal B D (com as orientações dadas) resulta num deslocamento paralelo ao lado A D com o dobro do comprimento — geometricamente isso aparece porque as componentes na direção de \vec{u} se anulam e as componentes na direção de \vec{v} se somam.
Observação análoga: se em vez de \overrightarrow{B D} se usar \overrightarrow{D B} (ou seja, inverter a orientação da segunda diagonal), então
\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B}=2\vec{u},
ou seja, soma das diagonais com essa orientação dá o dobro de \vec{u}. Isso reforça a ideia de que o sinal depende da ordem dos pontos.

Resposta

a) \displaystyle \overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v},\qquad \displaystyle \overrightarrow{B D}=\vec{v}-\vec{u}.
b) \displaystyle \overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v} e \displaystyle \overrightarrow{B D}=\vec{v}-\vec{u} (logo \displaystyle \overrightarrow{D B}=\vec{u}-\vec{v}).
c) No quadrado \displaystyle \sqrt{2}\,\vec{u}=\frac{\sqrt{2}}{2}\big(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B}\big).
d) \displaystyle \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=2\vec{v}=2\overrightarrow{A D}.

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