Retângulo A B C D, \overrightarrow{A B}=\vec{u}, \overrightarrow{A D}=\vec{v}.
a) Expresse ambas as diagonais.
b) Mostre que \overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v} e \overrightarrow{B D}=\vec{u}-\vec{v} (diferença).
c) Represente \sqrt{2} \vec{u} em relação à diagonal (caso quadrado).
d) Calcule \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} e interprete o resultado.
Passo 1
O enunciado diz: temos um retângulo A B C D e foram dadas as duas arestas que saem de A:
\overrightarrow{A B}=\vec{u}.
\overrightarrow{A D}=\vec{v}.
As perguntas são:
a) Expresse ambas as diagonais (isto é, escreva as vetoriais de A a C e de B a D em função de \vec{u} e \vec{v}).
b) Mostre que \overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v} e que a diferença pedida está relacionada às arestas (vamo tratar a orientação com cuidado).
c) No caso especial em que o retângulo é um quadrado, represente \sqrt{2}\,\vec{u} em termos das diagonais.
d) Calcule \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} e dê uma interpretação geométrica do resultado.
Informações relevantes que podemos usar (todas vindas do enunciado ou da definição de retângulo):
Em um retângulo, os lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento: \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}=\vec{v} e \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A B}=\vec{u} (atenção à direção).
Os lados adjacentes são ortogonais: \vec{u}\cdot\vec{v}=0 quando for útil (no caso do quadrado também vale e ainda |\vec{u}|=|\vec{v}|).
Vetor diagonal pode ser obtido por soma de dois lados adjacentes (em termos vetoriais: deslocamentos concatenam-se por soma).
Passo 2
Vamos encontrar \overrightarrow{A C} de maneira direta e didática (passo a passo).
Regra básica de vetores (explicação curta): se eu vou de um ponto X a Y com vetor \overrightarrow{X Y} e de Y a Z com vetor \overrightarrow{Y Z}, então o deslocamento total de X a Z é a soma:
Observação importante sobre orientação (isto é, sinal): se alguém escreve \vec{u}-\vec{v} isso corresponde ao vetor \overrightarrow{D B} (do ponto D para B), porque
Moral: é essencial ficar atento à ordem dos pontos ao escrever vetores—trocar a ordem inverte o sinal.
Passo 4
Vou reforçar com um exemplo em coordenadas (para você visualizar): coloque A na origem, tome \vec{u}=(a,0) e \vec{v}=(0,b) (isso modela um retângulo com \vec{u} horizontal e \vec{v} vertical). Então
Essa é uma representação de \sqrt{2}\,\vec{u} em termos das diagonais do quadrado. Interpretação rápida: a soma das duas diagonais (com as orientações que escolhemos) dá 2\vec{u}; então \sqrt{2}\vec{u} é apenas um fator escalar dessa soma.
Nota adicional (magnitude): no quadrado |\overrightarrow{A C}|=\sqrt{2}\,|\vec{u}|. Assim |\overrightarrow{A C}| tem a mesma norma que \sqrt{2}\,|\vec{u}|, mas \overrightarrow{A C} não aponta na mesma direção que \vec{u} (aponta numa diagonal); por isso não é correto dizer que \sqrt{2}\,\vec{u}=\overrightarrow{A C} — são vetores de mesma norma em geral com direções diferentes.
Passo 6
Parte (d): calcular \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} e interpretar.
Interpretação geométrica: o resultado é duas vezes o vetor \vec{v}, que é precisamente 2\overrightarrow{A D}. Em palavras: somar a diagonal A C com a diagonal B D (com as orientações dadas) resulta num deslocamento paralelo ao lado A D com o dobro do comprimento — geometricamente isso aparece porque as componentes na direção de \vec{u} se anulam e as componentes na direção de \vec{v} se somam.
Observação análoga: se em vez de \overrightarrow{B D} se usar \overrightarrow{D B} (ou seja, inverter a orientação da segunda diagonal), então