Dados vetores não-nulos em , defina uma transformação linear por
Determine as matrizes de e em uma base que contenha a e , nos casos em que esses vetores são L.I. ou L.D.
Passo 1
Neste exercício temos um operador de posto 1 em dado por
onde e são vetores fixos não nulos. Precisamos encontrar, em uma base que contenha e , as matrizes de , de seu adjunto (no produto interno padrão) e da sua pseudoinversa de Moore–Penrose , nos dois casos:
linearmente independentes (LI).
linearmente dependentes (LD).
Passo 2
Caso LI.
Definimos uma base ortonormal tal que
ChamemosEm coordenadas nesta base vale
Para obter a matriz de , basta ver onde envia os vetores da base:
Logo, a matriz de é
O adjunto A^* satisfaz lang<= A,v,wrang<==lang<= v,A^*wrang<=. Como A^*,v=lang<= v,brang<=,a, calculamos A^*,e1=lang<= e1,brang<=,a=alpha,(|a|,0,0)^T=(|a|alpha,0,0)^T,
A pseudoinversa de posto 1 de A=b,a^T é A^+=1|a|^2,|b|^2;a,b^T Em nossa base, a,b^T tem primeira linha (|a|alpha,|a|beta,0) e as outras nulas, daí [A^+](e)= 1|a|^2,|b|^2 |a|alpha & |a|beta & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = dfracalpha|a|,|b|^2 &dfracbeta|a|,|b|^2&0 0&0&0 0&0&0
Passo 3
Caso a,b LD. Então b=lambda,a com lambdaneq0. Escolhemos base ortonormal e1,e2,e3 com ,e1=a/|a|. Em coordenadas a=(|a|,0,0), b=(lambda|a|,0,0).
1.