Dados vetores não-nulos a, b em R^3, defina uma transformação linear A: R^3 R^3 por
A v=lang<=v, arang<= b
Determine as matrizes de A, A^* e A^+em uma base que contenha a e b, nos casos em que esses vetores são L.I. ou L.D.

Passo 1

Neste exercício temos um operador de posto 1 em R^3 dado por
A,v=lang<= v,arang<=,b,
onde a e b são vetores fixos não nulos. Precisamos encontrar, em uma base que contenha a e b, as matrizes de A, de seu adjunto A^* (no produto interno padrão) e da sua pseudoinversa de Moore–Penrose A^+, nos dois casos:
  • a,b linearmente independentes (LI).
  • a,b linearmente dependentes (LD).

Passo 2

Caso a,b LI.
  1. Definimos uma base ortonormal e1,e2,e3 tal que e1=a|a|, e2=b-lang<= b,e1rang<=,e1|,b-lang<= b,e1rang<=,e1|, e3=e1times e2
  2. Chamemos alpha=lang<= b,e1rang<==lang<= a,brang<=|a|, beta=|,b-alpha,e1|=raiz|b|^2-alpha^2 Em coordenadas nesta base vale a=(|a|,0,0)^T, b=(alpha,beta,0)^T
  3. Para obter a matriz de A, basta ver onde A envia os vetores da base: A,e1=lang<= e1,arang<=,b =|a|;(alpha,beta,0)^T =(|a|alpha,|a|beta,0)^T,
A,e2=lang<= e2,arang<=,b=0, A,e3=0
Logo, a matriz de A é
[A](e)= |a|alpha & 0 & 0 |a|beta & 0 & 0 0 & 0 & 0
  1. O adjunto A^* satisfaz lang<= A,v,wrang<==lang<= v,A^*wrang<=. Como A^*,v=lang<= v,brang<=,a, calculamos A^*,e1=lang<= e1,brang<=,a=alpha,(|a|,0,0)^T=(|a|alpha,0,0)^T,
A^*,e2=beta,(|a|,0,0)^T=(|a|beta,0,0)^T, A^*,e3=0
Assim
[A^*](e)= |a|alpha & |a|beta & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
  1. A pseudoinversa de posto 1 de A=b,a^T é A^+=1|a|^2,|b|^2;a,b^T Em nossa base, a,b^T tem primeira linha (|a|alpha,|a|beta,0) e as outras nulas, daí [A^+](e)= 1|a|^2,|b|^2 |a|alpha & |a|beta & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = dfracalpha|a|,|b|^2 &dfracbeta|a|,|b|^2&0 0&0&0 0&0&0

Passo 3

Caso a,b LD. Então b=lambda,a com lambdaneq0. Escolhemos base ortonormal e1,e2,e3 com
,e1=a/|a|. Em coordenadas a=(|a|,0,0), b=(lambda|a|,0,0).
1.
A,e1=lang<= e1,arang<=,b =|a|,(lambda|a|,0,0) =(lambda|a|^2,0,0), A,e2=A,e3=0
[A](e)= lambda|a|^2 & 0 &0 0 & 0 &0 0 & 0 &0
  1. Como bparal<=l a, tem-se A^*=A, logo
[A^*](e)=[A](e) = lambda|a|^2 & 0 &0 0 & 0 &0 0 & 0 &0
  1. A pseudoinversa age como inversa em spane1 e zero no ortogonal. Como
    A,e1=lambda|a|^2,e1, segue
A^+,e1=1lambda|a|^2,e1, A^+,e2=A^+,e3=0,
[A^+](e)= dfrac1lambda|a|^2 &0&0 0&0&0 0&0&0

Resposta

Caso a,b LI, na base ortonormal e1,e2,e3 definida em 2:
[A](e)= |a|alpha & 0 & 0 |a|beta & 0 & 0 0 & 0 & 0 , [A^*](e)= |a|alpha & |a|beta & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , [A^+](e)= alpha|a|,|b|^2 &beta|a|,|b|^2&0 0&0&0 0&0&0
Caso a,b LD ( b=lambda a), na base ortonormal com e1=a/|a|:
[A](e)=[A^*](e) = lambda|a|^2 & 0 &0 0 & 0 &0 0 & 0 &0 , [A^+](e) = dfrac1lambda|a|^2 &0&0 0&0&0 0&0&0

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