Determine a pseudo-inversa da transformação linear A: R^2 R^3 dada por A(x1, x2)=(x1, x2, a x1+b x2), onde a, b são números reais não-nulos.

Passo 1

O enunciado pede a pseudo-inversa (Moore–Penrose) da transformação linear
Acolon R^2toR^3, A(x1,x2)=(x1,x2,a,x1+b,x2),
onde a,bneq0. O conteúdo usado é o cálculo da pseudo-inversa de uma matriz de posto completo (aqui A tem posto 2), que se obtém por
A^+=(A^TA)^-1A^T

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz de A em coordenadas padrão. Com domínio R^2 e contradomínio R^3,
A = 1 & 0 0 & 1 a & b 3times2
Calculamos então
A^TA = 1 & 0 & a 0 & 1 & b 1 & 0 0 & 1 a & b = 1+a^2 & a,b a,b & 1+b^2

Passo 3

Determinante de A^TA é
det(A^TA) = (1+a^2)(1+b^2) - (a,b)^2 = 1 + a^2 + b^2,
que é não-nulo pois a,b não são ambos zero. Assim
(A^TA)^-1 = 11+a^2+b^2 1+b^2 & -a,b -,a,b & 1+a^2

Passo 4

Agora formamos
A^+ = (A^TA)^-1A^T = 11+a^2+b^2 1+b^2 & -a,b -,a,b & 1+a^2 1 & 0 & a 0 & 1 & b
Multiplicando obtemos
A^+ = 11+a^2+b^2 1+b^2 & -a,b & a -,a,b & 1+a^2 & b

Resposta

A pseudo-inversa de A é
A^+ =11+a^2+b^2 1+b^2 & -a,b & a -,a,b & 1+a^2 & b

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