Encontre os autovalores (e correspondentes autovetores) da forma bilinear simétrica B: R^2 times R^2 R dada por
B((x1, x2),(y1, y2))=5 x1 y1+4 x1 y2+4 x2 y1+5 x2 y2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da forma bilinear simétrica
Bl((x1,x2),(y1,y2)r)=5x1y1+4x1y2+4x2y1+5x2y2.
Vamos usar que toda forma bilinear simétrica em R^2 se associa a uma matriz simétrica A, e que os autovalores/vetores de A são os mesmos da forma. Precisamos:
1) escrever a matriz A,
2) resolver det(A-lambda I)=0,
3) para cada lambda, achar vneq0 tal que (A-lambda I)v=0.

Passo 2

A matriz associada à forma na base canônica é
A = 5 & 4 4 & 5

Passo 3

O polinômio característico vem de
det(A-lambda I) =det!5-lambda & 4 4 & 5-lambda =(5-lambda)^2 - 4cdot4 =(5-lambda)^2 - 16

Passo 4

Resolvendo (5-lambda)^2-16=0 obtemos
5-lambda = pm4 Longrightarrow lambda1 = 5+4 = 9, lambda2 = 5-4 = 1

Passo 5

Para lambda1 = 9 resolvemos
(A-9I)v = -4 & 4 4 & -4 x1 x2 =0 ;Longrightarrow; -4x1 + 4x2 = 0 ;Longrightarrow; x1 = x2
Um autovetor correspondente é v1 = (1,1).

Passo 6

Para lambda2 = 1 resolvemos
(A-I)v = 4 & 4 4 & 4 x1 x2 =0 ;Longrightarrow; 4x1 + 4x2 = 0 ;Longrightarrow; x2 = -,x1
Um autovetor correspondente é v2 = (1,-1).

Resposta

Os autovalores são lambda1=9 com autovetor v1=(1,1) e lambda2=1 com autovetor v2=(1,-1).

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