Dados vetores não-nulos
em
, defina uma transformação linear
por
Mostre que a pseudo-inversa de
é dada por
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
onde
e
são vetores não-nulos. O objetivo é encontrar a pseudoinversa de Moore–Penrose
, ou seja, o operador que satisfaz as quatro condições de Penrose e que, em caso de posto reduzido, age como inversa no subespaço de imagem de
.
Passo 2
Vamos escrever
como produto de matrizes (ou operadores de posto 1). Note que
então, como operadores matriciais,
Isto é um operador de posto 1, que leva qualquer
a um múltiplo de
.
Passo 3
Para construir a pseudoinversa usamos a SVD de
. Defina os vetores unitários
Então
Portanto o único valor singular de
é
com vetores singulares
à direita e
à esquerda.
Passo 4
Na forma SVD, a pseudoinversa de um operador de posto 1 é
Logo, agindo num vetor
, temos
Passo 5
Podemos ainda verificar rapidamente uma das condições de Penrose, por exemplo
o que confirma que a expressão encontrada é de fato a pseudoinversa de Moore–Penrose.