Dados vetores não-nulos a, b em R^3, defina uma transformação linear A: R^3 R^3 por
A v=lang<=v, arang<= b
Mostre que a pseudo-inversa de A é dada por
A^+ w=lang<=w, b|b|^2rang<= a|a|^2

Passo 1

O enunciado define a transformação linear A:R^3toR^3 por
A(v)=lang<= v,arang<=,b,
onde a e b são vetores não-nulos. O objetivo é encontrar a pseudoinversa de Moore–Penrose A^+, ou seja, o operador que satisfaz as quatro condições de Penrose e que, em caso de posto reduzido, age como inversa no subespaço de imagem de A.

Passo 2

Vamos escrever A como produto de matrizes (ou operadores de posto 1). Note que
A(v)=l(a^T vr),b
então, como operadores matriciais,
A = b,a^T
Isto é um operador de posto 1, que leva qualquer v a um múltiplo de b.

Passo 3

Para construir a pseudoinversa usamos a SVD de A. Defina os vetores unitários
u = b|b|, v = a|a|
Então
A = b,a^T = (|b|,u),(|a|,v)^T = (|a||b|);u,v^T
Portanto o único valor singular de A é
sigma = |a|;|b|,
com vetores singulares v à direita e u à esquerda.

Passo 4

Na forma SVD, a pseudoinversa de um operador de posto 1 é
A^+ = 1sigma;v,u^T = 1|a||b|;l(a|a|r)l(b|b|r)^T = 1|a|^2,|b|^2;a,b^T
Logo, agindo num vetor w, temos
A^+(w) = 1|a|^2,|b|^2;al(b^T wr) = llang<= w,b|b|^2rrang<=a|a|^2

Passo 5

Podemos ainda verificar rapidamente uma das condições de Penrose, por exemplo
A,A^+,A = (b,a^T),a,b^T|a|^2,|b|^2,(b,a^T) = b,a^T = A,
o que confirma que a expressão encontrada é de fato a pseudoinversa de Moore–Penrose.

Resposta

A^+(w) =llang<= w,b|b|^2rrang<=,a|a|^2

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