Seja u um vetor não-nulo em
. Mostre que a reflexão
em torno da reta
gerada por
é dada por
Mostre que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) derivar a fórmula da reflexão
de um vetor
em torno da reta gerada por
, e (ii) mostrar que essa reflexão preserva norma, isto é,
. O conteúdo principal é a decomposição ortogonal de
em partes paralela e perpendicular a
e a definição de reflexão que inverte apenas a componente perpendicular.
Passo 2
Decomponha
onde a projeção de
sobre
é
e a parte perpendicular é
. Por construção,
.
Passo 3
Por definição de reflexão em torno da reta de direção
, deixamos fixo o componente paralelo e invertemos o perpendicular. Logo,
Reescrevendo
temos
que é exatamente a fórmula pedida.
Passo 4
Usamos que
e
são ortogonais. Então
(porque
), mas
Logo
.