Seja u um vetor não-nulo em V. Mostre que a reflexão R: V V em torno da reta ell gerada por u é dada por
R v=2 lang<=v, urang<=lang<=u, urang<= u-v
Mostre que |R v|=|v|, para todo v in V.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) derivar a fórmula da reflexão R de um vetor v em torno da reta gerada por u, e (ii) mostrar que essa reflexão preserva norma, isto é, |Rv|=|v|. O conteúdo principal é a decomposição ortogonal de v em partes paralela e perpendicular a u e a definição de reflexão que inverte apenas a componente perpendicular.

Passo 2

Decomponha
v=vparal<=l+vperp,
onde a projeção de v sobre u é
vparal<=l=lang<=v,urang<=lang<=u,urang<=,u,
e a parte perpendicular é vperp=v-vparal<=l. Por construção, lang<=vparal<=l,vperprang<==0.

Passo 3

Por definição de reflexão em torno da reta de direção u, deixamos fixo o componente paralelo e invertemos o perpendicular. Logo,
Rv=vparal<=l-vperp
Reescrevendo vperp=v-vparal<=l temos
Rv =vparal<=l-l(v-vparal<=lr) =2,vparal<=l-v =2,lang<=v,urang<=lang<=u,urang<=,u-v,
que é exatamente a fórmula pedida.

Passo 4

Usamos que vparal<=l e vperp são ortogonais. Então
|Rv|^2 =|vparal<=l-vperp|^2 =|vparal<=l|^2+|vperp|^2
(porque lang<=vparal<=l,-vperprang<==0), mas
|vparal<=l|^2+|vperp|^2 =|vparal<=l+vperp|^2 =|v|^2
Logo |Rv|=|v|.

Resposta

Rv =2,lang<=v,urang<=lang<=u,urang<=,u-v, |Rv|=|v|

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