Determine o simétrico P^prime do ponto P=(4,-13,5) em relação ao ponto A=(1,-11,-3). Represente graficamente.
Dica: P^prime é o ponto simétrico de P em relação a A se, e somente se, A P+A P^prime=0.

Passo 1

O enunciado pede o ponto simétrico P' de P=(4,-13,5) em relação ao ponto A=(1,-11,-3).
O conteúdo é geometria analítica vetorial: um ponto A é o meio de PP' se, e somente se,
AP + AP' = 0
Ou seja, AP'=-AP, e basta usar a relação
P'=A+AP'=A-AP

Passo 2

Calcular o vetor AP:
AP = P - A = (4-1,;-13-(-11),;5-(-3)) = (3,;-2,;8)
Logo,
AP'=-AP=(-3,;2,;-8)

Passo 3

Obter as coordenadas de P' via P'=A+AP':
P' = (1,,-11,,-3) + (-3,,2,,-8) = (1-3,,-11+2,,-3-8) = (-2,,-9,,-11)

Passo 4

Representação gráfica (esboço):
Em um sistema de eixos x,y,z, os pontos P, A e P' ficam colineares, com A como ponto médio.
Por exemplo, na projeção no plano xy:
   y \uparrow          
     \cdot P'(-2,-9)
     \vert
     \vert
     \cdot A(1,-11)
     \vert
     \vert
- - - \cdot P(4,-13) \to x  
Na direção z, as ordenadas são zP=5, zA=-3, zP'=-11, mantendo a mesma reta em 3D.

Resposta

O ponto simétrico é
P'=(-2,,-9,,-11)

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