Determine o simétrico do ponto em relação ao ponto . Represente graficamente.
Dica: é o ponto simétrico de P em relação a A se, e somente se, .
Passo 1
O enunciado pede o ponto simétrico P' de P=(4,-13,5) em relação ao ponto A=(1,-11,-3).
O conteúdo é geometria analítica vetorial: um ponto A é o meio de PP' se, e somente se,
AP + AP' = 0
Ou seja, AP'=-AP, e basta usar a relação
P'=A+AP'=A-AP
Passo 2
Calcular o vetor AP:
AP = P - A = (4-1,;-13-(-11),;5-(-3)) = (3,;-2,;8)
Logo,
AP'=-AP=(-3,;2,;-8)
Passo 3
Obter as coordenadas de P' via P'=A+AP':
P' = (1,,-11,,-3) + (-3,,2,,-8) = (1-3,,-11+2,,-3-8) = (-2,,-9,,-11)
Passo 4
Representação gráfica (esboço):
Em um sistema de eixos x,y,z, os pontos P, A e P' ficam colineares, com A como ponto médio.
Por exemplo, na projeção no plano xy:
y \uparrow
\cdot P'(-2,-9)
\vert
\vert
\cdot A(1,-11)
\vert
\vert
- - - \cdot P(4,-13) \to x
Na direção z, as ordenadas são zP=5, zA=-3, zP'=-11, mantendo a mesma reta em 3D.