Determine os valores singulares da transformação linear A: R^2 R^3 dada por A(x1, x2)=(x1, x2, a x1+b x2), onde a, b são números reais não-nulos.

Passo 1

O enunciado pede os valores singulares da transformação linear AcolonR^2toR^3 definida por
A(x1,x2) = l(x1,,x2,,a,x1+b,x2r),
onde a e b são constantes reais. Para encontrar os valores singulares, vamos usar a definição: os quadrados dos valores singulares de A são os autovalores da matriz A^T A.

Passo 2

Escrevendo A como uma matriz 3times2, temos
A = 1 & 0 0 & 1 a & b

Passo 3

Calculamos a matriz , que é :

Passo 4

Vamos obter o traço e o determinante de A^T A:
tr(A^T A) = (1+a^2) + (1+b^2) = 2 + a^2 + b^2,
det(A^T A) = (1+a^2)(1+b^2) - (a,b)^2 = 1 + a^2 + b^2

Passo 5

Os autovalores lambda1,lambda2 de A^T A vêm da fórmula
lambda1,2 = tr(A^T A)pm raizl[tr(A^T A)r]^2 - 4,det(A^T A)2
Calculando o discriminante:
l(2 + a^2 + b^2r)^2 - 4,(1 + a^2 + b^2) = 4 + 4(a^2+b^2) + (a^2+b^2)^2 - 4 - 4(a^2+b^2) = (a^2 + b^2)^2,
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lambda1 = 2 + a^2 + b^2 + (a^2+b^2)2 = 1 + a^2 + b^2, lambda2 = 2 + a^2 + b^2 - (a^2+b^2)2 = 1

Passo 6

Os valores singulares de A são as raízes quadradas dos autovalores de A^T A. Portanto, sendo sigma1>= sigma2>=0, temos
sigma1 = raiz1 + a^2 + b^2, sigma2 = raiz1 = 1

Resposta

Os valores singulares são
sigma1=raiz1 + a^2 + b^2, sigma2=1

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