Dados os vetores x e a, obtenha um conjunto ortonormal de vetores Z=z1, z2, z3, z4 tal que o vetor z1 apresente a mesma direção e sentido que a direção definida pelo vetor a. Siga os passos definidos a seguir.
I. Obtenha o vetor z1.
II. Obtenha o vetor z2 via decomposição ortogonal de x sobre z1.
III. Obtenha a solução geral (paramétrica) que representa qualquer vetor perpendicular à z1, z2.
IV. Realize a decomposição ortogonal sobre os vetores solução para obter Z3, z4.
A distribuição dos vetores para cada aluno está disposta na TABELA I.

TABELA I

ELIZ DRUSIAO

x=(3,3,1,3)
a=(-1,4,3,-4)

Passo 1

Este exercício é sobre o processo de Gram–Schmidt pra gerar um conjunto ortonormal em R^4. A gente precisa achar quatro vetores z1,z2,z3,z4 ortonormais, sendo que z1 tem a mesma direção e sentido de a=(-1,4,3,-4). Vamos usar conceitos de norma de vetor, produto escalar, projeção ortogonal e Gram–Schmidt.

Passo 2

Primeiro (Item I), normalizamos a pra obter z1. A norma de a é
|a|=raiz(-1)^2+4^2+3^2+(-4)^2=raiz42
Logo,
z1=a|a|=(-1,4,3,-4)raiz42

Passo 3

No Item II, projetamos x=(3,3,1,3) em z1 e subtraímos pra ter ortogonalidade. A projeção é dada por projz1(x)=(xcdotz1)z1. Calculando:
xcdota=-3+12+3-12=0impliesprojz1(x)=0
Como já é ortogonal, basta normalizar x:
|x|=raiz3^2+3^2+1^2+3^2=2raiz7,
z2=x|x|=(3,3,1,3)2raiz7

Passo 4

No Item III, achamos todo vetor v=(v1,v2,v3,v4) que seja perpendicular a z1 e z2. Isso dá o sistema
-v1+4v2+3v3-4v4=0,
3v1+3v2+v3+3v4=0
Resolvendo em função de parâmetros s=v3 e t=v4, chegamos à forma geral
v=sl(tfrac13,-tfrac23,1,0r)+tl(-tfrac85,tfrac35,0,1r)

Passo 5

No Item IV, aplicamos Gram–Schmidt nos dois vetores acima. Primeiro pegamos s=1,t=0 e normalizamos:
z3=(1,-2,3,0)raiz1^2+(-2)^2+3^2+0^2=(1,-2,3,0)raiz14
Depois, pra achar z4, tiramos a projeção de (-8/5,3/5,0,1) sobre z3, subtraímos e normalizamos. O resultado é
z4=l(-72raiz21,12raiz21,32raiz21,52raiz21r)

Resposta

O conjunto ortonormal é Z=z1=tfrac(-1,4,3,-4)raiz42,;z2=tfrac(3,3,1,3)2raiz7,;z3=tfrac(1,-2,3,0)raiz14,;z4=l(-tfrac72raiz21,tfrac12raiz21,tfrac32raiz21,tfrac52raiz21r)

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