Dados os vetores
e a, obtenha um conjunto ortonormal de vetores
tal que o vetor
apresente a mesma direção e sentido que a direção definida pelo vetor a. Siga os passos definidos a seguir.
I. Obtenha o vetor
.
II. Obtenha o vetor
via decomposição ortogonal de
sobre
.
III. Obtenha a solução geral (paramétrica) que representa qualquer vetor perpendicular à
.
IV. Realize a decomposição ortogonal sobre os vetores solução para obter
.
A distribuição dos vetores para cada aluno está disposta na TABELA I.
TABELA I
ELIZ DRUSIAO
I. Obtenha o vetor
II. Obtenha o vetor
III. Obtenha a solução geral (paramétrica) que representa qualquer vetor perpendicular à
IV. Realize a decomposição ortogonal sobre os vetores solução para obter
Passo 1
Este exercício é sobre o processo de Gram–Schmidt pra gerar um conjunto ortonormal em
. A gente precisa achar quatro vetores
ortonormais, sendo que
tem a mesma direção e sentido de
. Vamos usar conceitos de norma de vetor, produto escalar, projeção ortogonal e Gram–Schmidt.
Passo 2
Primeiro (Item I), normalizamos
pra obter
. A norma de
é
Logo,
Passo 3
No Item II, projetamos
em
e subtraímos pra ter ortogonalidade. A projeção é dada por
. Calculando:
Como já é ortogonal, basta normalizar
:
Passo 4
No Item III, achamos todo vetor
que seja perpendicular a
e
. Isso dá o sistema
Resolvendo em função de parâmetros
e
, chegamos à forma geral
Passo 5
No Item IV, aplicamos Gram–Schmidt nos dois vetores acima. Primeiro pegamos
e normalizamos:
Depois, pra achar
, tiramos a projeção de
sobre
, subtraímos e normalizamos. O resultado é
Resposta
O conjunto ortonormal é