Questão 4: (3.0 pts) Mostre que uma base para o espaço vetorial real U definido por:
U=\left\{p(x) \in \mathbb{P}_{3}[x] \mid p(-1)=p(1)=0\right\}
é dada pelo conjunto B=\left\{1-x^{2}, x-x^{3}\right\}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U=\bigl\{p(x)\in\mathbb{P}_{3}[x]\mid p(-1)=p(1)=0\bigr\}
e pede para mostrar que
B=\{\,1-x^{2},\;x-x^{3}\}
é uma base de U. Vamos usar conceitos de subespaço, geradores, independência linear e dimensão de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro verificamos que cada vetor de B pertence a U.
Para p_{1}(x)=1-x^{2}:
p_{1}(1)=1-1=0,\quad p_{1}(-1)=1-1=0,
logo p_{1}\in U.
Para p_{2}(x)=x-x^{3}:
p_{2}(1)=1-1=0,\quad p_{2}(-1)=-1-(-1)=-1+1=0,
logo p_{2}\in U.

Passo 3

Verificamos que p_{1}\) e \(p_{2}\) são linearmente independentes. Suponha \[\alpha(1-x^{2})+\beta(x-x^{3})\equiv 0
como polinomial nula. Então, ao agrupar termos,
\alpha+\beta\,x-\alpha\,x^{2}-\beta\,x^{3}=0.
Igualando coeficientes em cada potência de x obtemos
\begin{cases} \alpha=0,\\\ \beta=0,\\\\ -\alpha=0,\\\\ -\beta=0, \end{cases}
logo \alpha=\beta=0\]. Assim \(B é LI.

Passo 4

Mostramos que B\) gera \(U\). Seja \(p(x)\in U\) de grau \(\le3\), escrita como \[p(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}.
As condições p(1)=0 e p(-1)=0 geram o sistema
\begin{cases} a+b+c+d=0,\\\ a-b+c-d=0. \end{cases}
Somando as duas equações dá 2(a+c)=0\implies c=-a\]. Subtraindo dá \(2(b+d)=0\implies d=-b. Logo
p(x)=a+bx -a\,x^{2}-b\,x^{3} =a\,(1-x^{2})+b\,(x-x^{3}),
que é combinação linear de 1-x^{2} e x-x^{3}. Assim \mathrm{span}(B)=U.

Passo 5

Como \dim U=2 (duas condições lineares em \mathbb{P}_{3} de dimensão 4) e B é conjunto de dois vetores LI em U, segue que B é base de U.

Resposta

O conjunto
B=\{\,1-x^{2},\;x-x^{3}\}
é uma base de U.

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