Questão 4: (3.0 pts) Mostre que uma base para o espaço vetorial real
definido por:
é dada pelo conjunto
.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede para mostrar que
é uma base de
. Vamos usar conceitos de subespaço, geradores, independência linear e dimensão de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro verificamos que cada vetor de
pertence a
.
Para :
Para
logo
.
Para :
Para
logo
.
Passo 3
Verificamos que
como polinomial nula. Então, ao agrupar termos,
Igualando coeficientes em cada potência de
obtemos
logo
é LI.
Passo 4
Mostramos que
As condições
e
geram o sistema
Somando as duas equações dá
. Logo
que é combinação linear de
e
. Assim
.
Passo 5
Como
(duas condições lineares em
de dimensão 4) e
é conjunto de dois vetores LI em
, segue que
é base de
.
Resposta
O conjunto
é uma base de
.