Questão 3: (2pts) Em \mathbb{P}_{2}[x], seja \mathcal{U} o subsespaço vetorial com base \mathcal{B}=\left\{1-t, 1+t^{2}\right\}. Em \mathcal{U}, as matrizes de mudança da base \mathcal{B} para uma base \mathcal{A} estão dadas por
[I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right) \quad[I]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 2 \\\ \frac{1}{2} & 1 . \end{array}\right)
Determine os elementos da base \mathcal{A}.

Passo 1

O enunciado está em \mathbb{P}_{2}[x] e define o subespaço \mathcal{U} de dimensão 2 com base
\mathcal{B} = \{\,b_{1}=1 - t,\;b_{2}=1 + t^{2}\}.
Queremos encontrar a outra base \mathcal{A} = \{\,a_{1},a_{2}\} de \mathcal{U}.
Sabemos que a matriz de mudança de coordenadas de \mathcal{B} para \mathcal{A} é
[I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} =\begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix},
o que significa que, para qualquer vetor v\in\mathcal{U},
[v]_{\mathcal{A}} =[I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}\,[v]_{\mathcal{B}}.
Em particular, as colunas de [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} são as coordenadas de b_{1} e b_{2} na base \mathcal{A}.

Passo 2

Escrevemos que
[b_{1}]_{\mathcal{A}} =\begin{pmatrix}-1\\[6pt]1\end{pmatrix}, \qquad [b_{2}]_{\mathcal{A}} =\begin{pmatrix}2\\[6pt]1\end{pmatrix},
ou seja
b_{1} = 1 - t = -1\cdot a_{1} \;+\; 1\cdot a_{2},
b_{2} = 1 + t^{2} = 2\cdot a_{1} \;+\; 1\cdot a_{2}.]

Passo 3

Temos o sistema de equações em a_{1},a_{2}\): \[\begin{cases} -\,a_{1} \;+\; a_{2} = 1 - t,\\[6pt] 2\,a_{1} \;+\; a_{2} = 1 + t^{2}. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda resulta
(2\,a_{1}+a_{2}) -(-\,a_{1}+a_{2}) = (1+t^{2}) - (1-t) \quad\Longrightarrow\quad 3\,a_{1} = t + t^{2}
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a_{1} = \frac{1}{3}\bigl(t + t^{2}\bigr).
Em seguida, de (-,a_{1}+a_{2}=1-t], obtemos
a_{2} = (1 - t) + a_{1} = 1 - t + \frac{1}{3}(t + t^{2}) = 1 \;-\;\frac{2}{3}\,t \;+\;\frac{1}{3}\,t^{2}.]

Resposta

A base \mathcal{A} é
\mathcal{A} = \Bigl\{\;a_{1}=\tfrac{1}{3}(t + t^{2}),\quad a_{2}=1 - \tfrac{2}{3}t + \tfrac{1}{3}t^{2}\Bigr\}.

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