Determinar u m vetor u ortogonal aos vetores v1=(3,1,-3) e v2=(2,-2,5)

Passo 1

O enunciado pede um vetor u que seja ortogonal aos vetores
v1=(3,1,-3) e v2=(2,-2,5).
O conteúdo principal aqui é produto vetorial em R^3, pois o produto vetorial de dois vetores dá um vetor perpendicular a ambos.

Passo 2

Lembrando que, para
v1=(v1x,v1y,v1z) e v2=(v2x,v2y,v2z),
o produto vetorial é
v1timesv2 = i & j & k v1x & v1y & v1z v2x & v2y & v2z ,
cujo resultado em coordenadas é
l(v1yv2z-v1zv2y,; -(v1xv2z-v1zv2x),; v1xv2y-v1yv2xr)

Passo 3

Aplicando aos nossos vetores,
v1x=3,;v1y=1,;v1z=-3
e
v2x=2,;v2y=-2,;v2z=5,
temos
v1timesv2 =l(1cdot5-(-3)cdot(-2),;-l(3cdot5-(-3)cdot2r),;3cdot(-2)-1cdot2r)
Calculando cada componente:
1cdot5-(-3)(-2)=5-6=-1,
-l(3cdot5-(-3)cdot2r)=-(15-(-6))=-21,
3cdot(-2)-1cdot2=-6-2=-8

Passo 4

Portanto
v1timesv2=(-1,,-21,,-8)
Um vetor paralelo a esse também serve; por exemplo, multiplicando por -1 obtemos
,(1,,21,,8), que é mais “bonitinho” e não muda a ortogonalidade.

Resposta

Um possível vetor ortogonal é
u=(1,,21,,8)

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