Dados os vetores no plano
e
pede-se
(a) O vetor soma
; o vetor diferença
; o vetor
(b)
;
(c) O produto escalar
;
(d) O ângulo formado pelos vetores
e
.
(a) O vetor soma
(b)
(c) O produto escalar
(d) O ângulo formado pelos vetores
Passo 1
O enunciado dá os vetores no plano
e
e pede quatro itens:
(a) os vetores ,
e
;
(b) a norma ;
(c) o produto escalar ;
(d) o ângulo formado entre e
.
(a) os vetores
(b) a norma
(c) o produto escalar
(d) o ângulo formado entre
As informações relevantes são apenas as coordenadas de
e
indicadas acima. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Definição e cálculo das operações com vetores no plano.
- Regra (adição e subtração): para
e , Aqui são as componentes horizontais e verticais dos vetores.
Aplicando a
e
:
- Regra (multiplicação por escalar): para escalar
e vetor ,
Calcular
:
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Passo 3
Norma de um vetor (módulo): para
,
Aqui queremos
. Já achamos
, então
Interpretação rápida:
é o comprimento do vetor soma; neste caso é
.
Passo 4
Produto escalar (definição algébrica): para
e
,
Aplicando a
e
:
Comentário: o produto escalar negativo indica que o ângulo entre os vetores é maior que
.
Passo 5
Relação entre produto escalar e ângulo: para vetores não nulos
e
,
onde
é o ângulo entre
e
e
,
são as normas.
Vamos calcular
e
:
Substituindo na fórmula do cosseno:
Assim o ângulo é
Para uso prático (aproximação decimal), calcula-se o valor numérico do cosseno e aplica-se arccos. O valor aproximado é
Observação: a expressão exata
é a forma simbólica correta; a aproximação em graus ou radianos requer calculadora ou tabela de arcos.
Resposta
(a)
;
;
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)