Dados os vetores no plano u=(2,-5) e v=(1,1) pede-se
(a) O vetor soma u+v; o vetor diferença u-v; o vetor 3 u-2 v
(b) \|u+v\|;
(c) O produto escalar u \cdot v;
(d) O ângulo formado pelos vetores u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores no plano \;u=(2,-5)\; e \;v=(1,1)\; e pede quatro itens:
(a) os vetores \;u+v\;, \;u-v\; e \;3u-2v\;;
(b) a norma \;\|u+v\|\;;
(c) o produto escalar \;u\cdot v\;;
(d) o ângulo formado entre u e v.
As informações relevantes são apenas as coordenadas de u e v indicadas acima. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Definição e cálculo das operações com vetores no plano.
  • Regra (adição e subtração): para \;a=(a_1,a_2)\; e \;b=(b_1,b_2)\;, a+b=(a_1+b_1,\;a_2+b_2),\qquad a-b=(a_1-b_1,\;a_2-b_2).Aqui a_1,a_2,b_1,b_2 são as componentes horizontais e verticais dos vetores.
Aplicando a u e v:
u+v=(2+1,\;-5+1)=(3,-4).
u-v=(2-1,\;-5-1)=(1,-6).
  • Regra (multiplicação por escalar): para escalar \lambda e vetor a=(a_1,a_2), \lambda a=(\lambda a_1,\;\lambda a_2).
Calcular \;3u-2v\;:
3u=(3\cdot2,\;3\cdot(-5))=(6,-15), \qquad 2v=(2\cdot1,\;2\cdot1)=(2,2).
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3u-2v=(6,-15)-(2,2)=(6-2,\;-15-2)=(4,-17).

Passo 3

Norma de um vetor (módulo): para \;a=(a_1,a_2)\;,
\|a\|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}.
Aqui queremos \|u+v\|. Já achamos \;u+v=(3,-4)\;, então
\|u+v\|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Interpretação rápida: \|u+v\| é o comprimento do vetor soma; neste caso é 5.

Passo 4

Produto escalar (definição algébrica): para \;a=(a_1,a_2)\; e \;b=(b_1,b_2)\;,
a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2.
Aplicando a u e v:
u\cdot v = 2\cdot1 + (-5)\cdot1 = 2-5 = -3.
Comentário: o produto escalar negativo indica que o ângulo entre os vetores é maior que 90^\circ.

Passo 5

Relação entre produto escalar e ângulo: para vetores não nulos a e b,
a\cdot b = \|a\|\,\|b\|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre a e b e \|a\|, \|b\| são as normas.
Vamos calcular \|u\| e \|v\|:
\|u\|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}, \qquad \|v\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{-3}{\sqrt{29}\,\sqrt{2}} = \frac{-3}{\sqrt{58}}.
Assim o ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{-3}{\sqrt{58}}\right).
Para uso prático (aproximação decimal), calcula-se o valor numérico do cosseno e aplica-se arccos. O valor aproximado é
\frac{-3}{\sqrt{58}}\approx -0{,}393919\quad\Rightarrow\quad \theta \approx 1{,}974\\ \text{rad}\approx 113{,}07^\circ.
Observação: a expressão exata \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(-3/\sqrt{58}\bigr) é a forma simbólica correta; a aproximação em graus ou radianos requer calculadora ou tabela de arcos.

Resposta

(a) u+v=(3,-4) ; u-v=(1,-6) ; 3u-2v=(4,-17)
(b) \|u+v\|=5
(c) u\cdot v=-3
(d) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-3}{\sqrt{58}}\right)\approx 1{,}974\\ \text{rad}\approx 113{,}07^\circ

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