Dados os vetores quaisquer e , prove a desigualdade
Em que casos ocorrerão as igualdades?
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer vetores e , vale
Vamos usar o fato de que a norma quadrada de qualquer vetor é não-negativa, ou seja, , e analisar um polinômio quadrático em cujo discriminante nos dá a desigualdade desejada.
Tirando raiz quadrada em ambos os lados (e lembrando que norma é não-negativa), concluímos
-,|a|,|b|;<=;acdotb;<=;|a|,|b|
Passo 5
A igualdade em (acdotb)^2=|a|^2|b|^2 ocorre exatamente quando De<a=0, isto é, quando existe t tal que a-tb=0. Logo a e b são colineares.
Se t>0, apontam no mesmo sentido e acdotb=|a|,|b|.
Se t<0, apontam em sentidos opostos e acdotb=-|a|,|b|.
Resposta
A desigualdade
-|a|,|b|<=acdotb<=|a|,|b|
está provada. As igualdades ocorrem se e somente se a e b são colineares: no mesmo sentido para acdotb=|a|,|b| e em sentidos opostos para acdotb=-|a|,|b|.