Dados os vetores quaisquer a e b, prove a desigualdade
-|a| cdot |b| <= a cdot b <= |a| cdot |b|
Em que casos ocorrerão as igualdades?

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer vetores a e b, vale
-,|a|;|b|;<=;acdotb;<=;|a|;|b|
Vamos usar o fato de que a norma quadrada de qualquer vetor é não-negativa, ou seja, lvert vrvert^2 = vcdotv>=0, e analisar um polinômio quadrático em t cujo discriminante nos dá a desigualdade desejada.

Passo 2

Considere a função
f(t)=llvert a-tbrrvert^2>=0forall,tinR
Expandindo o produto escalar, obtemos
f(t)=(a-tb)cdot(a-tb) =|a|^2-2,t,(acdotb)+t^2,|b|^2

Passo 3

Como f(t)>=0 para todo t, o discriminante desse polinômio em t deve ser não-positivo:
De<a =l[-2(acdotb)r]^2 -4,|b|^2,|a|^2 =4(acdotb)^2-4,|a|^2,|b|^2 <=0
Dividindo por 4, fica
(acdotb)^2;<=;|a|^2,|b|^2

Passo 4

Tirando raiz quadrada em ambos os lados (e lembrando que norma é não-negativa), concluímos
-,|a|,|b|;<=;acdotb;<=;|a|,|b|

Passo 5

A igualdade em (acdotb)^2=|a|^2|b|^2 ocorre exatamente quando De<a=0, isto é, quando existe t tal que a-tb=0. Logo a e b são colineares.
  • Se t>0, apontam no mesmo sentido e acdotb=|a|,|b|.
  • Se t<0, apontam em sentidos opostos e acdotb=-|a|,|b|.

Resposta

A desigualdade
-|a|,|b|<=acdotb<=|a|,|b|
está provada. As igualdades ocorrem se e somente se a e b são colineares: no mesmo sentido para acdotb=|a|,|b| e em sentidos opostos para acdotb=-|a|,|b|.

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