Os vetores a e b são perpendiculares entre si, e o vetor c forma com cada um deles um ângulo de pi / 3. Sabendo que |a|=3,|b|=5 e |c|=8, calcule:\n (a+2 b-3 c)^2.

Passo 1

O enunciado diz que a e b são perpendiculares, ou seja, acdotb=0, e que c forma ângulo pi/3 com cada um deles. Conhecemos |a|=3, |b|=5 e |c|=8. Precisamos calcular o quadrado da norma do vetor a+2b-3c, usando expansão pelo produto escalar.

Passo 2

Aplicamos a definição
|a+2b-3c|^2=(a+2b-3c)cdot(a+2b-3c)
Ao expandir, obtemos
|a+2b-3c|^2 = acdota +4,bcdotb +9,ccdotc +4,acdotb -6,acdotc -12,bcdotc

Passo 3

Como aperpb, temos acdotb=0. Para acdotc e bcdotc, usamos
ccdota=|c|;|a|cosl(tfracpi3r), ccdotb=|c|;|b|cosl(tfracpi3r)

Passo 4

Como cos(pi/3)=tfrac12, calculamos
acdotc=8cdot3cdottfrac12=12, bcdotc=8cdot5cdottfrac12=20
Além disso acdota=|a|^2=9, bcdotb=25, ccdotc=64.

Passo 5

Substituindo tudo em
|a+2b-3c|^2 =9 +4cdot25 +9cdot64 +4cdot0 -6cdot12 -12cdot20
temos
9 +100 +576 -72 -240 =685 -312 =373

Resposta

373

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