Os vetores a e b são perpendiculares entre si, e o vetor c forma com cada um deles um ângulo de pi / 3. Sabendo que |a|=3,|b|=5 e |c|=8, calcule:\n (a+b+c)^2;

Passo 1

O enunciado diz que vec a e vec b são perpendiculares, e que vec c faz ângulo pi/3 tanto com vec a quanto com vec b. Ainda sabemos |vec a|=3, |vec b|=5 e |vec c|=8. Queremos calcular
(vec a+vec b+vec c)^2 ;=;|vec a+vec b+vec c|^2,
onde usaremos a expansão em termos de produto escalar.

Passo 2

Vamos encontrar os produtos escalares necessários:
vec acdotvec b = 0
pois são perpendiculares, e
vec acdotvec c = |vec a|;|vec c|cosl(tfracpi3r) =3cdot8cdot12=12,
vec bcdotvec c = |vec b|;|vec c|cosl(tfracpi3r) =5cdot8cdot12=20

Passo 3

Usamos a identidade
|vec a+vec b+vec c|^2 =|vec a|^2+|vec b|^2+|vec c|^2 +2l(vec acdotvec b + vec acdotvec c + vec bcdotvec cr)
Substituindo:
|vec a|^2+|vec b|^2+|vec c|^2 =3^2+5^2+8^2=9+25+64=98,
2l(0+12+20r)=2cdot32=64,
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|vec a+vec b+vec c|^2 = 98+64 = 162

Resposta

162

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