Mostre que o vetor p=b(a cdot c)-c(a cdot b) é perpendicular ao vetor a.

Passo 1

O enunciado define os vetores a,b,c no espaço e o vetor
p = b,(acdotc) ;-; c,(acdotb)
Queremos mostrar que p é perpendicular a a, isto é, que
acdotp=0. Para isso usaremos a linearidade e comutatividade do produto escalar.

Passo 2

Escrevemos o produto escalar de a com p e aplicamos a propriedade
acdot(lambda v)=lambda,(acdotv):
acdotp = acdotl(b,(acdotc)r) ;-;acdotl(c,(acdotb)r)

Passo 3

Fatoramos os escalares fora do produto em cada termo:
acdotp = (acdotc),(acdotb) ;-;(acdotb),(acdotc)

Passo 4

Como os dois produtos escalares são iguais, sua diferença é zero:
(acdotc)(acdotb) - (acdotb)(acdotc) = 0
Logo acdotp=0, o que significa que p é perpendicular a a.

Resposta

pperpa (pois acdotp=0).

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