Dados os vetores
t=i-j
u=2 i+3 j
v=i+j
calcule os seguintes produtos:
a) t cdot(u times v)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores: t = i - j, u = 2i + 3j e v = i + j. A questão pede para calcular o produto escalar de t com o produto vetorial de u e v, ou seja, t cdot (u times v). Vamos precisar usar as propriedades de produto vetorial e produto escalar da álgebra vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u times v. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
u times v = i & j & k ux & uy & uz vx & vy & vz
Como nossos vetores estão no plano XY, as componentes uz e vz são zero.

Passo 3

Vamos montar a matriz para u times v:
u times v = i & j & k 2 & 3 & 0 1 & 1 & 0
Agora, calculamos o determinante:
u times v = i(3 cdot 0 - 0 cdot 1) - j(2 cdot 0 - 0 cdot 1) + k(2 cdot 1 - 3 cdot 1)

Passo 4

Simplificando os cálculos:
u times v = i(0) - j(0) + k(2 - 3) = -k
Então, u times v = -k.

Passo 5

Agora que temos u times v, vamos calcular o produto escalar com t. O produto escalar de dois vetores é uma operação que combina duas grandezas vetoriais e resulta em um número. A fórmula do produto escalar é:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz

Passo 6

Aplicando a fórmula ao t cdot (u times v):
t = i - j = (1, -1, 0)
u times v = -k = (0, 0, -1)
Então,
t cdot (u times v) = (1)(0) + (-1)(0) + (0)(-1) = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

O valor de t cdot (u times v) é 0.

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