a) Mostre que, se invertermos os sentidos de todas as componentes de um vetor, então o próprio vetor também terá invertido o seu sentido.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pede para mostrar que, se a gente inverter o sentido de todas as componentes de um vetor, o próprio vetor também terá seu sentido invertido. Isso envolve conceitos de vetores e operações com eles, especialmente sobre como as componentes de um vetor afetam sua direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Um vetor é representado por uma seta que tem direção e magnitude (ou tamanho). Ele pode ser descrito em coordenadas como $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $ no espaço tridimensional, por exemplo.

Passo 3

Agora, se a gente inverter o sentido de todas as componentes do vetor, isso significa que cada componente do vetor muda de sinal. Então, se o vetor original é $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $, ao inverter todas as componentes, obtemos $ \vec{-v} = (-v_1, -v_2, -v_3) $.

Passo 4

Vamos pensar no que isso significa geometricamente. Inverter todas as componentes de um vetor é equivalente a multiplicar o vetor por -1. Ou seja, $ \vec{-v} = -1 \cdot \vec{v} $.

Passo 5

Multiplicar um vetor por -1 faz com que ele aponte exatamente na direção oposta, mantendo o mesmo tamanho. Portanto, $ \vec{-v} $ tem a mesma magnitude que $ \vec{v} $, mas sua direção está invertida.

Resposta

Assim, mostramos que ao invertermos todas as componentes de um vetor $ \vec{v} $, obtemos $ \vec{-v} $, que é o vetor original com seu sentido invertido.

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