Dados os vetores (3,1,4),(2,-3,5) e (5,9, t) em \mathbb{R}^{3}. Determine t \in \mathbb{R} tal que os vetores sejam L.D.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:\r \r v_1=(3,1,4),\;\r v_2=(2,-3,5),\;\r v_3=(5,9,t).\r\r
Queremos encontrar o valor de t tal que v_1,v_2,v_3 sejam linearmente dependentes. Em \mathbb{R}^3, três vetores são L.D. exatamente quando o determinante da matriz que eles formam (como colunas ou linhas) é zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3:\r
M = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5\\\\ 1 & -3 & 9\\\\ 4 & 5 & t \end{pmatrix}.\r
A condição de dependência linear é\r
\det(M)=0.

Passo 3

Calculamos \det(M) por expansão na primeira linha:\r
\det(M) =3\begin{vmatrix}-3 & 9\\\ 5 & t\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}1 & 9\\\ 4 & t\end{vmatrix} +5\begin{vmatrix}1 & -3\\\ 4 & 5\end{vmatrix}.\r
Cada menor é\r
\begin{vmatrix}-3 & 9\\\ 5 & t\end{vmatrix} =-3\,t - 9\cdot5 =-3t-45,
\begin{vmatrix}1 & 9\\\ 4 & t\end{vmatrix} =1\cdot t - 9\cdot4 =t-36,
\begin{vmatrix}1 & -3\\\ 4 & 5\end{vmatrix} =1\cdot 5 - (-3)\cdot4 =5+12 =17.\r
Logo,\r
\det(M) =3(-3t-45)-2(t-36)+5\cdot17 =-9t-135-2t+72+85 =-11t+22.

Passo 4

Impondo \det(M)=0:\r
-11t+22=0 \quad\Longrightarrow\quad t=2.

Resposta

t=2

Exercícios relacionados