Dados os vetores (3,1,4),(2,-3,5) e (5,9, t) em \mathbb{R}^{3}. Determine t \in \mathbb{R} tal que os vetores sejam L.D.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:\r \r
v_1=(3,1,4),\;\r
v_2=(2,-3,5),\;\r
v_3=(5,9,t).\r\r
Queremos encontrar o valor de t tal que v_1,v_2,v_3 sejam linearmente dependentes. Em \mathbb{R}^3, três vetores são L.D. exatamente quando o determinante da matriz que eles formam (como colunas ou linhas) é zero.
Passo 2
Formamos a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3:\r
M = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5\\\\ 1 & -3 & 9\\\\ 4 & 5 & t \end{pmatrix}.\r
A condição de dependência linear é\r
\det(M)=0.
Passo 3
Calculamos \det(M) por expansão na primeira linha:\r