Mostre que o conjunto \left\{e^{x}, \cos x, \operatorname{sex}, x\right\} é L.I. no espaço vetorial \mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções \{e^{x},\cos x,\sin x,x\}
é linearmente independente em \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).
Isso significa provar que, se existirem escalares a,b,c,d\in\mathbb{R} tais que
a\,e^{x} + b\,\cos x + c\,\sin x + d\,x = 0 \quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
então necessariamente a=b=c=d=0.
Como todas as funções envolvidas são infinitamente diferenciáveis, vamos usar derivadas para obter um sistema de equações lineares em a,b,c,d.
Passo 2
Suponha que
a\,e^{x} + b\,\cos x + c\,\sin x + d\,x = 0 \quad\forall x.
Derivando essa identidade uma vez em relação a x, obtemos
a\,e^{x} - b\,\sin x + c\,\cos x + d = 0 \quad\forall x.
Derivando de novo,
a\,e^{x} - b\,\cos x - c\,\sin x = 0 \quad\forall x,
e uma terceira vez,
a\,e^{x} + b\,\sin x - c\,\cos x = 0 \quad\forall x.
Passo 3
Agora temos quatro identidades verdadeiras para todo x\):
\[\begin{cases} a\,e^{x} + b\,\cos x + c\,\sin x + d\,x = 0,\\[6pt] a\,e^{x} - b\,\sin x + c\,\cos x + d = 0,\\[6pt] a\,e^{x} - b\,\cos x - c\,\sin x = 0,\\[6pt] a\,e^{x} + b\,\sin x - c\,\cos x = 0. \end{cases}
Para obter um sistema numérico, avaliamos todas essas igualdades em (x=0].]
Passo 4
Em [x=0) temos e^{0}=1, \cos0=1, \sin0=0. Substituindo:
a\cdot1 + b\cdot1 + c\cdot0 + d\cdot0 = 0 ⇒ a + b = 0.
a\cdot1 - b\cdot0 + c\cdot1 + d = 0 ⇒ a + c + d = 0.
Da segunda equação a-b=0\] segue \(b=a. Da primeira a+b=0 segue a+a=0, ou seja 2a=0 ⇒ a=0. Logo b=0. Da terceira a-c=0 vem c=0. Finalmente, da quarta a+c+d=0 resulta d=0.
Resposta
Os únicos escalares que satisfazem a combinação linear nula são a=b=c=d=0. Portanto, as funções e^{x}, \cos x, \sin x e x são linearmente independentes.