Seja U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+2 y-3 z=0\right\} subespaço de \mathbb{R}^{3}. Encontre uma base para o espaço U e determine sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x + 2y - 3z = 0\}
e pede uma base e sua dimensão. O conteúdo aqui é mostrar que U é um plano passando pela origem, escrever um vetor genérico de U em função de parâmetros e extrair vetores que o gerem formando uma base.

Passo 2

Se (x,y,z)\in U, então
x + 2y - 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -2y + 3z.
Logo um vetor genérico de U pode ser escrito como
(x,y,z) = \bigl(-2y+3z,\;y,\;z\bigr) = y\,(-2,1,0) \;+\; z\,(3,0,1).

Passo 3

Da expressão acima vemos que
U = \mathrm{Span}\{\,(-2,1,0),\;(3,0,1)\}.
Os vetores (-2,1,0) e (3,0,1) são linearmente independentes porque nenhum é múltiplo escalar do outro. Assim eles formam uma base de U.

Passo 4

Como a base encontrada tem dois vetores independentes, a dimensão de U é
\dim(U) = 2.

Resposta

Uma base de U é \{(-2,1,0),\,(3,0,1)\} e \dim(U)=2.

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