Sejam v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} \in V vetores L. I. Prove que os vetores w_{1}=v_{1}-v_{2}, w_{2}=v_{2}-v_{3}, w_{3}=v_{3}-v_{4} e w_{4}=v_{4} são L. I.

Passo 1

O enunciado diz que temos vetores \,v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\in V que são linearmente independentes (L.I.) e define
w_{1}=v_{1}-v_{2},\quad w_{2}=v_{2}-v_{3},\quad w_{3}=v_{3}-v_{4},\quad w_{4}=v_{4}.
O que queremos provar é que \,w_{1},w_{2},w_{3},w_{4} também são L.I. O conteúdo usado será apenas a definição de independência linear.

Passo 2

Suponha, para mostrar independência, que exista combinação linear nula:
a_{1}w_{1}+a_{2}w_{2}+a_{3}w_{3}+a_{4}w_{4}=0.
Substituindo cada w_{i} pela sua expressão em função de v_{j}, obtemos
a_{1}(v_{1}-v_{2})+a_{2}(v_{2}-v_{3})+a_{3}(v_{3}-v_{4})+a_{4}v_{4}=0.

Passo 3

Agrupando os termos em v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}, vem
a_{1}v_{1}+(-a_{1}+a_{2})v_{2}+(-a_{2}+a_{3})v_{3}+(-a_{3}+a_{4})v_{4}=0.
Como \,v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} são L.I., cada coeficiente dessa combinação deve ser zero. Logo formamos o sistema
a_{1}=0,\quad -a_{1}+a_{2}=0,\quad -a_{2}+a_{3}=0,\quad -a_{3}+a_{4}=0.

Passo 4

Resolvendo o sistema em cascata:
  • De a_{1}=0 segue a_{1}=0.
  • De -a_{1}+a_{2}=0 com a_{1}=0 segue a_{2}=0.
  • De -a_{2}+a_{3}=0 com a_{2}=0 segue a_{3}=0.
  • De -a_{3}+a_{4}=0 com a_{3}=0 segue a_{4}=0.
Assim a única solução é a trivial a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0.

Resposta

Os vetores w_{1},w_{2},w_{3},w_{4} são linearmente independentes.

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