Dados vetores u, v e w tais que (u times v) cdot w=-1. Podemos afirmar:
Escolha uma opção:
a. ((-4 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+2 stackrelharpoonupw)) cdot stackrelharpoonupv=-4
b. ((-4 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+2 w)) cdot stackrelharpoonupv=-8
c. ((-4 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+2 w)) cdot stackrelharpoonupv=4
d. ((-4 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+2 stackrelharpoonupw)) cdot stackrelharpoonupv=8
e. ((-4 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+2 stackrelharpoonupw)) cdot stackrelharpoonupv=2

Passo 1

O enunciado dá três vetores vec u, vec v e vec w tais que
(vec u times vec v)cdotvec w = -1
Pede-se para calcular
l((-4vec u-vec v)times(vec v+2vec w)r)cdotvec v
O conteúdo aqui é a linearidade do produto vetorial e a propriedade cíclica do triplo escalar.

Passo 2

Defina
vec A = -4vec u - vec v, vec B = vec v + 2vec w
Então
vec A times vec B = (-4vec u-vec v)times(vec v+2vec w)
Pela distributividade do produto vetorial,
vec A times vec B = -4(vec utimesvec v) -8(vec utimesvec w) -(vec vtimesvec v) -2(vec vtimesvec w)

Passo 3

Como vec vtimesvec v=vec 0, podemos simplificar:
vec A times vec B = -4(vec utimesvec v) -8(vec utimesvec w) -2(vec vtimesvec w)

Passo 4

Agora calculamos o escalar com vec v:
(vec Atimesvec B)cdotvec v = -4(vec utimesvec v)cdotvec v -8(vec utimesvec w)cdotvec v -2(vec vtimesvec w)cdotvec v
Mas (vec utimesvec v)perpvec v e (vec vtimesvec w)perpvec v, logo os dois primeiros e o último termo são zero, sobrando
(vec Atimesvec B)cdotvec v = -8,(vec utimesvec w)cdotvec v

Passo 5

Usamos a propriedade cíclica do triplo escalar:
(vec utimesvec v)cdotvec w = (vec vtimesvec w)cdotvec u = (vec wtimesvec u)cdotvec v = -1
Como vec wtimesvec u=-(vec utimesvec w), temos
-(vec utimesvec w)cdotvec v=-1 Rightarrow (vec utimesvec w)cdotvec v=1
Portanto
(vec Atimesvec B)cdotvec v = -8 cdot 1 = -8

Resposta

-8, ou seja, a alternativa correta é a letra (b).

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