Encontre a distância do ponto (1,1,1) à reta que contem o ponto ( -2, 32, 0 ) e é paralela a -2 i+j-k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a distância entre o ponto (1,1,1) e uma reta no espaço. A reta passa pelo ponto (-2, 32, 0) e é paralela ao vetor -2i + j - k. Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria vetorial, especificamente uma fórmula que calcula a distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que vamos usar. Temos o ponto P(1,1,1) e a reta que passa por A(-2, 32, 0) com direção dada pelo vetor v = -2i + j - k.

Passo 3

A fórmula para a distância d entre um ponto P e uma reta que passa por A com direção v é:
d = |AP times v||v|
Aqui, AP é o vetor que vai de A até P, e times representa o produto vetorial.

Passo 4

Vamos calcular AP. Subtraindo as coordenadas de A das de P:
AP = (1 - (-2), 1 - 32, 1 - 0) = (3, -12, 1)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial AP times v:
AP times v = i & j & k 3 & -12 & 1 -2 & 1 & -1
Calculando o determinante:
i(-12 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(3 cdot (-1) - 1 cdot (-2)) + k(3 cdot 1 - (-12) cdot (-2))
= i(12 - 1) - j(-3 + 2) + k(3 - 1)
= i(-12) - j(-1) + k(2)
= -12i + j + 2k

Passo 6

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor:
|AP times v| = raiz(-12)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz14 + 1 + 4 = raiz14 + 5 = raiz214 = raiz212

Passo 7

Em seguida, calculamos o módulo do vetor v:
|v| = raiz(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = |AP times v||v| = raiz212raiz6 = raiz212raiz6 = raiz21 cdot raiz62 cdot 6 = raiz12612 = 3raiz1412 = raiz144

Resposta

A distância do ponto (1,1,1) à reta é raiz144 unidades.

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