Encontre a equação do plano que contem os pontos (-32, 1, 52),(-1,1, 32) e (0,1, 12).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos (-tfrac32,1,tfrac52), (-1,1,tfrac32) e (0,1,tfrac12). O conteúdo envolvido é a equação de um plano no espaço, que podemos obter a partir de um vetor normal ao plano e de um ponto qualquer nele.

Passo 2

Para achar um vetor normal ao plano, calculamos dois vetores diretores presentes no plano:
vec v = P2 - P1 = l(-1 -(-tfrac32),;1-1,;tfrac32-tfrac52r) = l(tfrac12,0,-1r),
vec w = P3 - P1 = l(0 -(-tfrac32),;1-1,;tfrac12-tfrac52r) = l(tfrac32,0,-2r)

Passo 3

O vetor normal vec n ao plano é dado pelo produto vetorial vec n = vec v times vec w:
vec n = i & j & k tfrac12 & 0 & -1 tfrac32 & 0 & -2 = -tfrac12, j
Como escalar não altera a orientação do plano, podemos usar vec n = (0,1,0).

Passo 4

A forma geral do plano com normal vec n=(nx,ny,nz) e ponto P1=(x1,y1,z1) é
nx(x-x1) + ny(y-y1) + nz(z-z1) = 0
Substituindo vec n=(0,1,0) e P1=(-tfrac32,1,tfrac52) vem
0,(x+tfrac32) + 1,(y-1) + 0,(z-tfrac52) = 0
que simplifica para
y - 1 = 0,
ou seja,
y = 1

Resposta

A equação do plano é ;y = 1.

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