Determine a decomposição em valores singulares das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a decomposição em valores singulares da matriz B = 6 & 4 0 & 0 4 & 0 . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre valores singulares, matrizes transpostas e como resolver sistemas de equações para encontrar esses valores. Vamos chegar lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a decomposição em valores singulares (SVD). Basicamente, qualquer matriz B pode ser decomposta em três matrizes: B = U Sigma V^T , onde:
U é uma matriz ortogonal que contém os vetores singulares à esquerda.
Sigma é uma matriz diagonal que contém os valores singulares.
V^T é a transposta de uma matriz ortogonal V que contém os vetores singulares à direita.
Para encontrar os valores singulares, a gente precisa calcular os autovalores (e posteriormente as raízes quadradas positivas desses autovalores) da matriz B^T B .
Passo 3
Vamos calcular B^T B . A matriz transposta de B é:
B^T = 6 & 0 & 4 4 & 0 & 0
Agora, multiplicamos B^T por B :
B^T B = 6 & 0 & 4 4 & 0 & 0 6 & 4 0 & 0 4 & 0 = 6 times 6 + 0 times 0 + 4 times 4 & 6 times 4 + 0 times 0 + 4 times 0 4 times 6 + 0 times 0 + 0 times 4 & 4 times 4 + 0 times 0 + 0 times 0 = 52 & 24 24 & 16
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz B^T B . Para isso, resolvemos o determinante:
det(B^T B - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores. Então:
Os valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores de B^T B . Assim:
sigma1 = raiz64 = 8 e sigma2 = raiz4 = 2
Então, nossa matriz Sigma será:
Sigma = 8 & 0 0 & 2
Passo 6
Agora, vamos encontrar os vetores singulares à direita, que são os autovetores de B^T B . Para cada autovalor lambda , resolvemos (B^T B - lambda I)v = 0 .
Como U precisa ser ortogonal, se ainda não completamos a base, adicionamos um vetor ortogonal adicional, mas para simplificar, vamos considerar apenas os vetores que já encontramos.
Então, a matriz U será:
U = 2raiz5 & 1raiz5 0 & 0 1raiz5 & -2raiz5
Resposta
Então, a decomposição em valores singulares da matriz B é: