Determine a decomposição em valores singulares das seguintes matrizes:
B=[ll6 & 4 0 & 0 4 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a decomposição em valores singulares da matriz B = 6 & 4 0 & 0 4 & 0 . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre valores singulares, matrizes transpostas e como resolver sistemas de equações para encontrar esses valores. Vamos chegar lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a decomposição em valores singulares (SVD). Basicamente, qualquer matriz B pode ser decomposta em três matrizes: B = U Sigma V^T , onde:
  • U é uma matriz ortogonal que contém os vetores singulares à esquerda.
  • Sigma é uma matriz diagonal que contém os valores singulares.
  • V^T é a transposta de uma matriz ortogonal V que contém os vetores singulares à direita.
Para encontrar os valores singulares, a gente precisa calcular os autovalores (e posteriormente as raízes quadradas positivas desses autovalores) da matriz B^T B .

Passo 3

Vamos calcular B^T B . A matriz transposta de B é:
B^T = 6 & 0 & 4 4 & 0 & 0
Agora, multiplicamos B^T por B :
B^T B = 6 & 0 & 4 4 & 0 & 0 6 & 4 0 & 0 4 & 0 = 6 times 6 + 0 times 0 + 4 times 4 & 6 times 4 + 0 times 0 + 4 times 0 4 times 6 + 0 times 0 + 0 times 4 & 4 times 4 + 0 times 0 + 0 times 0 = 52 & 24 24 & 16

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz B^T B . Para isso, resolvemos o determinante:
det(B^T B - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores. Então:
det( 52 - lambda & 24 24 & 16 - lambda ) = (52 - lambda)(16 - lambda) - 24 times 24 = 0
Calculando o determinante:
(52 - lambda)(16 - lambda) - 576 = 0 832 - 52lambda - 16lambda + lambda^2 - 576 = 0 lambda^2 - 68lambda + 256 = 0
Aplicamos a fórmula quadrática:
lambda = 68 pm raiz68^2 - 4 times 1 times 2562 = 68 pm raiz4624 - 10242 = 68 pm raiz36002 = 68 pm 602
Então, os autovalores são:
lambda1 = 68 + 602 = 64 e lambda2 = 68 - 602 = 4

Passo 5

Os valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores de B^T B . Assim:
sigma1 = raiz64 = 8 e sigma2 = raiz4 = 2
Então, nossa matriz Sigma será:
Sigma = 8 & 0 0 & 2

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vetores singulares à direita, que são os autovetores de B^T B . Para cada autovalor lambda , resolvemos (B^T B - lambda I)v = 0 .
Para lambda1 = 64 :
52 - 64 & 24 24 & 16 - 64 v1 v2 = -12 & 24 24 & -48 v1 v2 = 0
Isso resulta em -12v1 + 24v2 = 0 Rightarrow v1 = 2v2 . Então, um autovetor associado é v^(1) = 2 1 . Normalizamos para que a magnitude seja 1:
|v^(1)| = raiz2^2 + 1^2 = raiz5 v^(1) = 1raiz5 2 1
Para lambda2 = 4 :
52 - 4 & 24 24 & 16 - 4 v1 v2 = 48 & 24 24 & 12 v1 v2 = 0
Isso resulta em 48v1 + 24v2 = 0 Rightarrow v1 = -0.5v2 . Então, um autovetor associado é v^(2) = -1 2 . Normalizamos:
|v^(2)| = raiz(-1)^2 + 2^2 = raiz5 v^(2) = 1raiz5 -1 2
Então, a matriz V é:
V = 2raiz5 & -1raiz5 1raiz5 & 2raiz5

Passo 7

Agora, vamos encontrar os vetores singulares à esquerda U . Eles são obtidos a partir de U = B V Sigma^-1 .
Calculando Sigma^-1 :
Sigma^-1 = 18 & 0 0 & 12
Multiplicando B por V :
B V = 6 & 4 0 & 0 4 & 0 2raiz5 & -1raiz5 1raiz5 & 2raiz5 = 12 + 4raiz5 & -6 + 8raiz5 0 & 0 8 + 0raiz5 & -4 + 0raiz5 = 16raiz5 & 2raiz5 0 & 0 8raiz5 & -4raiz5
Agora, multiplicamos por Sigma^-1 :
U = B V Sigma^-1 = 16raiz5 & 2raiz5 0 & 0 8raiz5 & -4raiz5 18 & 0 0 & 12 = 168raiz5 & 22raiz5 0 & 0 88raiz5 & -42raiz5 = 2raiz5 & 1raiz5 0 & 0 1raiz5 & -2raiz5
Como U precisa ser ortogonal, se ainda não completamos a base, adicionamos um vetor ortogonal adicional, mas para simplificar, vamos considerar apenas os vetores que já encontramos.
Então, a matriz U será:
U = 2raiz5 & 1raiz5 0 & 0 1raiz5 & -2raiz5

Resposta

Então, a decomposição em valores singulares da matriz B é:
B = U Sigma V^T
Onde:
U = 2raiz5 & 1raiz5 0 & 0 1raiz5 & -2raiz5 , Sigma = 8 & 0 0 & 2 , V = 2raiz5 & -1raiz5 1raiz5 & 2raiz5

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