Duas retas perpendiculares r e s se interceptam no ponto P=(0,3). Os pontos (x, y) da reta r obdecem a equação r:-2 x-y+3=0. Os pontos em s que distam 2 raiz5 de P são:
Escolha uma opção:
a. (-5,2) e (5,4)
b. (-2,7) e (2,-1)
c. (-2,5) e (-2,-7)
d. (-4,1) e (4,5)
e. (-3,0) e (5,6)

Passo 1

O enunciado dá duas retas r e s perpendiculares que se cruzam em P=(0,3). A reta r tem equação
-2x - y + 3 = 0,
e pede os pontos em s que distam 2raiz5 de P. Para resolver vamos (1) achar a inclinação de r, (2) determinar a equação de s, e (3) intersectar essa reta com o círculo de centro P e raio 2raiz5.

Passo 2

Reescrevendo r em forma y = mx + b temos
-2x - y + 3 = 0 Longrightarrow y = -2x + 3,
logo a inclinação de r é mr = -2. A reta s é perpendicular a r, então sua inclinação é
ms = 12,
e passando por P=(0,3) sua equação em forma ponto-inclinação é
y - 3 = tfrac12(x - 0) Longrightarrow y = tfrac12 x + 3

Passo 3

Os pontos (x,y) em s que distam 2raiz5 de P satisfazem simultaneamente
y = tfrac12 x + 3 e (x-0)^2 + (y-3)^2 = (2raiz5)^2 = 20
Substituindo y-3 = tfrac12 x na distância,
x^2 + l(tfrac12 xr)^2 = 20

Passo 4

Simplificando a equação de segundo grau:
x^2 + tfrac14 x^2 = 20 Longrightarrow tfrac54 x^2 = 20 Longrightarrow x^2 = 20cdot45 = 16 Longrightarrow x = pm 4

Passo 5

Para cada x calculamos y = tfrac12 x + 3:
  • Se x = 4, então y = 2 + 3 = 5, ponto (4,5).
  • Se x = -4, então y = -2 + 3 = 1, ponto (-4,1).

Resposta

(d) (-4,1) e (4,5)

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