Dados vetores u, v e w tais que (u times v) cdot w=-2. Podemos afirmar:
Escolha uma opção:
a. ((2 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+4 stackrelharpoonupw)) cdot v=-16
b. ((2 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+4 w)) v=-8
c. ((2 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+4 w)) cdot v=-12
d. ((2 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+4 stackrelharpoonupw)) cdot v=8
e. ((2 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+4 w)) cdot v=16

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores: u, v e w, e sabemos que o produto misto (u times v) cdot w = -2. O conteúdo envolvido aqui inclui produtos vetoriais e produto misto de vetores. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o produto vetorial e o produto misto, além de aplicar propriedades dessas operações.

Passo 2

Vamos analisar a expressão que precisamos calcular: ((2u - v) times (v + 4w)) cdot v. Primeiro, vamos simplificar o produto vetorial dentro dos parênteses. Para isso, usamos a propriedade distributiva do produto vetorial:
(2u - v) times (v + 4w) = 2u times v + 2u times 4w - v times v - v times 4w
Simplificando cada termo:
= 2u times v + 8u times w - 0 - 4v times w
(Note que v times v = 0 porque o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero.)

Passo 3

Agora, temos:
(2u times v + 8u times w - 4v times w) cdot v
Vamos distribuir o produto escalar:
2(u times v) cdot v + 8(u times w) cdot v - 4(v times w) cdot v
Sabemos que o produto escalar de um vetor com o seu produto vetorial com outro vetor é zero, ou seja, (a times b) cdot a = 0. Portanto:
2(u times v) cdot v = 0 - 4(v times w) cdot v = 0
Então, sobra:
8(u times w) cdot v

Passo 4

Agora, precisamos calcular 8(u times w) cdot v. Lembrando que o produto misto (a times b) cdot c é igual ao determinante formado por esses vetores, e também que ele é igual a (u times v) cdot w quando rearranjamos os vetores ciclicamente.
Sabemos que (u times v) cdot w = -2. Então, vamos ver como isso se relaciona com (u times w) cdot v.
Usando a propriedade do produto misto:
(u times w) cdot v = - (u times v) cdot w = - (-2) = 2

Passo 5

Agora que sabemos que (u times w) cdot v = 2, podemos substituir na expressão anterior:
8 times 2 = 16

Resposta

A alternativa correta é a letra e. ((2 u - v) times (v + 4 w)) cdot v = 16

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