Para quais valores de m os vetores (-3, m+1,1),(-4,0,-3 m) e (0,-m,-4) sâoo linearmente dependentes?
a. m=118(12+12 raiz5) e m=118(12-12 raiz5)
b. m=118(-19-3 raiz5) e m=118(3 raiz5-19)
c. m=118(12 raiz5-22) e m=118(-22-12 raiz5)
d. m=118(13-6 raiz2) e m=118(13+6 raiz2)
e. m=118(13-3 raiz2) e m=118(13+3 raiz2)

Passo 1

Então, a gente tem um problema que está na área de álgebra linear, mais especificamente sobre vetores e dependência linear. A questão nos pede para descobrir para quais valores de os vetores , e são linearmente dependentes. Para resolver isso, vamos usar o determinante de uma matriz formada por esses vetores. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz A = -3 & -4 & 0 m+1 & 0 & -m 1 & -3m & -4 cujas colunas são os vetores dados:
Para verificar a dependência linear, precisamos calcular o determinante dessa matriz e igualá-lo a zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de det(A) = -3 cdot det 0 & -m -3m & -4 - (-4) cdot det m+1 & -m 1 & -4 + 0 cdot det m+1 & 0 1 & -3m . O determinante de uma matriz det(A) = -3 cdot (0 cdot (-4) - (-m) cdot (-3m)) + 4 cdot ((m+1) cdot (-4) - (-m) cdot 1) pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a expansão pela primeira linha:
det(A) = -3 cdot (0 - 3m^2) + 4 cdot (-4(m+1) + m)
Simplificando, como o último termo multiplica por zero, ele desaparece:
det(A) = -3 cdot (-3m^2) + 4 cdot (-4m -4 + m)
det(A) = 9m^2 + 4 cdot (-3m -4)
det(A) = 9m^2 -12m -16

Passo 4

Agora, para os vetores serem linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
9m^2 -12m -16 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 5

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática m = -b pm raizb^2 - 4ac2a :
m = -(-12) pm raiz(-12)^2 - 4 cdot 9 cdot (-16)2 cdot 9
Aqui, m = 12 pm raiz144 + 57618 , m = 12 pm raiz72018 e raiz720 = raiz144 cdot 5 = 12raiz5 . Substituindo:
m = 12 pm 12raiz518 = 12(1 pm raiz5)18 = 2(1 pm raiz5)3
m = 118(12 + 12raiz5) e m = 118(12 - 12raiz5)
Simplificando a raiz quadrada:
Então:
Normalizando para a forma apresentada nas opções:

Resposta

A opção correta é a a.
e

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