Sejam beta=e1, e2, e3 a base canônica de R^3, i.e.,
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1)
Considere beta^prime=u1, u2, u3 onde
u1=(1,1,1), u2=(1,2,0) e u3=(1,0,1)
Faça o que se pede:
b) Determine [ei]beta^prime para i=1,2,3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear que envolve mudança de base. A gente tem duas bases no espaço tridimensional R^3: a base canônica beta = e1, e2, e3 e uma outra base beta' = u1, u2, u3 com vetores definidos. O que a gente precisa fazer é encontrar as coordenadas dos vetores da base canônica beta na base beta'. Para isso, vamos utilizar conceitos de representação linear e resolver sistemas de equações para expressar cada ei como combinação linear dos vetores de beta'.

Passo 2

Vamos começar determinando [e1]beta^prime, ou seja, as coordenadas de e1 na base beta'. Queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
e1 = a u1 + b u2 + c u3
Substituindo os vetores de beta':
(1, 0, 0) = a(1,1,1) + b(1,2,0) + c(1,0,1)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b + c = 1 a + 2b = 0 a + c = 0
Vamos resolver esse sistema:
  1. Da terceira equação: a + c = 0 Rightarrow c = -a
  2. Da segunda equação: a + 2b = 0 Rightarrow a = -2b
  3. Substituindo a = -2b e c = -a = 2b na primeira equação:
-2b + b + 2b = 1 Rightarrow b = 1
Então:
a = -2(1) = -2 c = 2(1) = 2
Portanto:
[e1]beta^prime = -2 1 2

Passo 3

Agora vamos encontrar [e2]beta^prime, as coordenadas de e2 na base beta'. Queremos:
e2 = a u1 + b u2 + c u3
Substituindo os vetores:
(0, 1, 0) = a(1,1,1) + b(1,2,0) + c(1,0,1)
Isso resulta no sistema:
a + b + c = 0 a + 2b = 1 a + c = 0
Resolvendo:
  1. Da terceira equação: a + c = 0 Rightarrow c = -a
  2. Da segunda equação: a + 2b = 1 Rightarrow a = 1 - 2b
  3. Substituindo a = 1 - 2b e c = -a = -1 + 2b na primeira equação:
(1 - 2b) + b + (-1 + 2b) = 0 Rightarrow b = 0
Então:
a = 1 - 2(0) = 1 c = -1 + 2(0) = -1
Portanto:
[e2]beta^prime = 1 0 -1

Passo 4

Por fim, vamos determinar [e3]beta^prime, as coordenadas de e3 na base beta'. Queremos:
e3 = a u1 + b u2 + c u3
Substituindo:
(0, 0, 1) = a(1,1,1) + b(1,2,0) + c(1,0,1)
O sistema fica:
a + b + c = 0 a + 2b = 0 a + c = 1
Resolvendo:
  1. Da segunda equação: a + 2b = 0 Rightarrow a = -2b
  2. Da terceira equação: a + c = 1 Rightarrow c = 1 - a = 1 + 2b
  3. Substituindo a = -2b e c = 1 + 2b na primeira equação:
-2b + b + (1 + 2b) = 0 Rightarrow 1 + b = 0 Rightarrow b = -1
Então:
a = -2(-1) = 2 c = 1 + 2(-1) = -1
Portanto:
[e3]beta^prime = 2 -1 -1

Resposta

As coordenadas dos vetores da base canônica beta na base beta' são:
[e1]beta^prime = -2 1 2 , [e2]beta^prime = 1 0 -1 , [e3]beta^prime = 2 -1 -1

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