Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear que envolve mudança de base. A gente tem duas bases no espaço tridimensional : a base canônica e uma outra base com vetores definidos. O que a gente precisa fazer é encontrar as coordenadas dos vetores da base canônica na base . Para isso, vamos utilizar conceitos de representação linear e resolver sistemas de equações para expressar cada como combinação linear dos vetores de .
Passo 2
Vamos começar determinando , ou seja, as coordenadas de na base . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Substituindo os vetores de :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação: a + c = 0Rightarrowc = -a
Da segunda equação: a + 2b = 0Rightarrowa = -2b
Substituindo a = -2b e c = -a = 2b na primeira equação:
-2b + b + 2b = 1 Rightarrow b = 1
Então:
a = -2(1) = -2 c = 2(1) = 2
Portanto:
[e1]beta^prime = -2 1 2
Passo 3
Agora vamos encontrar [e2]beta^prime, as coordenadas de e2 na base beta'. Queremos:
e2 = a u1 + b u2 + c u3
Substituindo os vetores:
(0, 1, 0) = a(1,1,1) + b(1,2,0) + c(1,0,1)
Isso resulta no sistema:
a + b + c = 0 a + 2b = 1 a + c = 0
Resolvendo:
Da terceira equação: a + c = 0Rightarrowc = -a
Da segunda equação: a + 2b = 1Rightarrowa = 1 - 2b
Substituindo a = 1 - 2b e c = -a = -1 + 2b na primeira equação:
(1 - 2b) + b + (-1 + 2b) = 0 Rightarrow b = 0
Então:
a = 1 - 2(0) = 1 c = -1 + 2(0) = -1
Portanto:
[e2]beta^prime = 1 0 -1
Passo 4
Por fim, vamos determinar [e3]beta^prime, as coordenadas de e3 na base beta'. Queremos:
e3 = a u1 + b u2 + c u3
Substituindo:
(0, 0, 1) = a(1,1,1) + b(1,2,0) + c(1,0,1)
O sistema fica:
a + b + c = 0 a + 2b = 0 a + c = 1
Resolvendo:
Da segunda equação: a + 2b = 0Rightarrowa = -2b
Da terceira equação: a + c = 1Rightarrowc = 1 - a = 1 + 2b
Substituindo a = -2b e c = 1 + 2b na primeira equação:
-2b + b + (1 + 2b) = 0 Rightarrow 1 + b = 0 Rightarrow b = -1
Então:
a = -2(-1) = 2 c = 1 + 2(-1) = -1
Portanto:
[e3]beta^prime = 2 -1 -1
Resposta
As coordenadas dos vetores da base canônica beta na base beta' são: